Некоторые приложения дифференциального исчисления (стр. 3 из 6)

Так как

, то при функция S имеет максимум. Значение функции

S

= кв. ед.

Так как функция S(x) непрерывна на

и её значения на концах S(0) и S( ) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является

2) В данный шар вписать цилиндр, имеющий наибольшую боковую поверхность (рис. 6).

Рис. 6

Пусть радиус шара R, а радиус основания цилиндра r. Тогда высота цилиндра h определится по формуле

, а боковая поверхность , при этом . Отсюда , при , откуда

Функция S(r) положительна и непрерывна на

. На концах отрезка она равна нулю. Следовательно, внутри отрезка при она имеет наибольшее значение. Цилиндр такого радиуса будет искомым.

3) Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.

Решение

Обозначим стороны прямоугольника через x и y. Тогда периметр равен

. Выразим y через x, зная, что радиус полукруга R (из прямоугольного треугольника):

, .

Тогда периметр

Находим производную:

, при этом

при

Таким образом, прямоугольник должен иметь стороны

;

4) Вокруг полушара радиуса описать прямой круговой конус наименьшего объема; при этом предполагается, что основания полушара и конуса лежат в одной плоскости и концентричны (рис. 7).

Решение

Рис. 7

Обозначим угол при вершине конуса через

. Тогда получается:

И объем конуса:

Для того чтобы объем V имел наименьшее значение, очевидно, нужно, чтобы выражение у = cos²

sin , стоящее в знаменателе, получило свое наибольшее значение, при изменении в промежутке . Имеем

между 0 и

производная обращается в нуль при tg = , , меняя при этом знак плюс на минус. Этот угол доставляет выражению y наибольшее значение, а объёму V – наименьшее.

5) Найти для функции

точки максимума, минимума, промежутки возрастания и убывания.

Рис. 8

Решение

Запишем функцию двумя разными формулами для промежутков (

;0) и [0; + ). На первом промежутке , на втором . При < x < 0 имеем . Производная обращается в нуль при х = 1 и х = -1. Первая из этих точек не принадлежит промежутку ( ; 0). На промежутке ( ; - 1) производная положительна, на промежутке (- 1; 0)- отрицательна, поэтому -1 -точка максимума. На промежутке (0; ) производная у'= Зх² + 3 > 0, значит функция возрастает на промежутке, и точка x = 0, в которой производная от функции не существует, оказывается точкой минимума. График имеет вид, изображенный на рис. 8.

6) Миноносец стоит на якоре в 9 км. От ближайшей точки берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км., считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега (лагерь расположен на берегу). Если гонец может делать пешком по 5 км/ч, а на вёслах 4 км/ч, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?

Решение

Рис. 9

OA=9 км (рис. 9)

OB=15 км

км/ч

5 км/ч

Пусть S₁ гонец проплывает со скоростью v₁=4 км/ч, а путь S₂ гонец проходит со скоростью v₂=5 км/ч. Пусть OC=x, тогда

Тогда исследуемая функция будет выглядеть:

Дифференцируя полученную функцию имеем:

; ; ; ;

Получаем x = 12 (км). Знак первой производной для значений, несколько меньших 12 и несколько больших 12 меняется с “-” на ”+”, т.е. функция t при x = 12 имеет минимум. Гонец должен доплыть до пункта C, находящемуся на расстоянии 12 км. от пункта O.

Производные высших порядков

Наряду с производной

функции f(x) часто возникает потребность в рассмотрении производной функции . Она называется второй производной функции f(x). Производная есть скорость изменения функции. Поэтому вторая производная есть скорость изменения скорости изменения функции или, вторая производная есть ускорение изменения функции.

Производная от второй производной называется третьей производной или производной третьего порядка; производная от третьей производной - производной четвертого порядка и т.д. Производная порядка п от функции f (х) обозначается f⁽ⁿ⁾ (х).