Шпаргалка по Математике 3 (стр. 6 из 8)

События А₁, А₂,….А_n называются независимыми, если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности. В противном случае события А₁, А₂,….А_n, называются зависимыми. Для независимых событий их условные вероятности равны безусловным, а формула упрощается

Р(А₁ *А₂….А_n)=Р(А₁)*Р(А₂)*……*Р(А_n)

Пример: в коробке 4 белых,3 синих, 2 черных шара. Наудачу послед-но вынимают 3 шара. Какова вероят-ть что 1й шар будет белым, 2й –синим, 3й- черным. Решение: событие А1 – 1м вытащили белый шар, А2 – 2м вытащили синий шар, 3м вытащили черный шар. Тогда А=А1*А2*А3. По правилу умнож-я вер-й :Р(А) =Р(А1)*Р(А2/А1)*Р(А3/А2*А1) . То Р(А1) = 4/9, Р(А2/А1)=3/8, Р(А3/А2*А1)=2/7. Р(А)= 1/21=0,05.

Вероятность суммы событий.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения, Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А*В).

Можно получить формулу вероятности суммы трех и большего числа совместных событий; для 3х событий она имеет вид: Р(А+В+С) = Р(А) +Р(В)+Р(С) – Р(А*В) –Р(А*С) –Р(В*С) +Р(А*В*С).

Основные формулы комбинаторики.

При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Определим основные такие комбинации.

Перестановки– это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Р_п = п! (1.3)

Пример. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно составить из 7 различных фамилий?

Решение. Р₇ = 7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040.

Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

(1.4)

Пример. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета (первое, второе, третье места), если в соревнованиях принимают участие 10 человек?

Решение.

Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний

(1.5)

Пример. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?

Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:

Формула полной вероятности

Пусть события Н1, Н2,….Н_n образуют полную группу. Тогда для любого события А имеет место формула полной вероятности или средней вероятности.

Пример. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбран-ной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

Решение. Будем считать гипотезами Н₁, Н₂ и Н₃ выбор урны с соответствующим номером. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то

Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы:

Тогда

Формула Байеса

Она позволяет переоценить вероятность гипотез Н_i , принятых до опыта и называемых априорными, по результатам уже проведенного опыта, т.е. найти условные вероятности Р(Н_i/А), которые называются апостериорными.

Теорема: Пусть события Н1, Н2,…Н_nобразуют полную группу событий. Тогда условная вероятность события Н_k (k=l,n- по модулю) при условии, что событие А произошло, задается формулой

Где

- формула полной вероятности.

Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Пусть событиеА – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н₁ – первый попал, а второй промахнулся, Н₂ – первый промахнулся, а второй попал, Н₃ – оба попали, Н₄ – оба промахнулись. Вероятности гипотез: р(Н₁) = 0,6·0,3 = 0,18, р(Н₂) = 0,4·0,7 = 0,28, р(Н₃) = 0,6·0,7 = 0,42, р(Н₄) = 0,4·0,3 = 0,12.Тогда р(А/Н₁) = р(А/Н₂) = 1, р(А/Н₃) = р(А/Н₄) = 0. Следовательно, полная вероятность р(А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46. Применяя формулу Байеса, получим:

Формула Бернулли

Теорема: Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а вероятность его непоявления равна q = 1 –p, то вероятность того, что событие А произойдет mраз определяется формулой.P_n(m) = C^m_n * p^m * q^n-m , m = 0, 1,2….n.

Пример: Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны р = 0,9. Какова вероятность: а) промаха, б) одного попадания, в) 2х попаданий, г) трех попаданий? Если вероятности попадания при разных случаях различны: р1 = 0,7, р2 = 0,8, р3 = 0,9

В данном случае n = 3, p = 0.9, q = 0.1

А) Р(0) = С⁰₃× 0,9⁰ × 0,1³ = 0,001 – вероятность 3х промахов

Б) Р (1) = С¹₃ × 0,9¹ × 0,1² = 0,027 - вероятность одного попадания

В) Р (2) = С²₃ × 0,9² × 0,1¹ = 0,243 - вероятность 2х попаданий

Г) Р (3) = С³₃ × 0,9³ × 0,1⁰ = 0,729 – вероятность 3х попаданий

Предельные теоремы в схеме Бернулли

Использование формулы Бернулли при больших значениях nи mвызывает большие трудности, так как оно связано с громоздкими вычислениями. Вычисление Р_n (m) вызывает затруднения также при малых значениях р (q).

Теоремма Пуассона .

Если число испытыний неограничено увеличиваетя (n – 0) и вероятность р наступления события А в каждом испытании неограниченно уменьшается ( р – 0), но так, что их произведение np является постоянной величиной (np = a = const), то вероятность Р_n (m) удовлетворяет предельному равенству limP_n(m) = a^me^-a/m! (n→∞).

Пример: Завод отправил 1500 бутылок. Вероятность того что бутылка в пути может разбиться равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет разбито не более 4х бутылок - Р(А).

Искомая вероятность равна Р₁₅₀₀ (0)+Р₁₅₀₀ (1) + Р₁₅₀₀ (2)+ Р₁₅₀₀ (3)+Р₁₅₀₀ (4)

Так как n = 1500, p = 0,002, то а = (np) = 3

Р(А) = 3⁰ * е^-3 /0! +3¹ * е^-3 /1! +3² * е^-3 /2!+ 3³ * е^-3 /3! +3⁴ * е^-3 /4! = 0,815.

Формулу пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (поток посетителей в парикхмахерской, поток вызовов, поток отказов элементов).

Можно доказать что вероятность появления m событий простейшего потока за время продолжительностью tопределяется формулой Пуассона

Р_t (m) = p (m) = (λt)^m *e^-λt/m!

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Локальная теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постояннаи отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность Р_n (m) может быть вычислена по приближенной формуле

P_n(m) = 1/ √npq * 1/ √2П * е^-х2/2, где х=m-np/ √npq

Выражение 1/ √2П * е^-х2/2 = ɸ(x) называется функцией Гаусса, а ее график кривой вероятностей.

Равенство можно расписать в виде P_n(m) = 1/ √npq *ɸ(x), где х=m-np/ √npq

Интегральная теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Р_n (k₁≤m≤ k₂) может быть найдена по приближенной формуле

Р_n (k₁≤m≤ k₂) = 1/ √2П∫^х2_х1 е^-х2/2dx, где х₁=k₁-np/ √npq, х₂=k₂-np/ √npq

Равенство принимает вид Р_n(k₁≤ m ≤ k₂) = Ф₀ (х₂) – Ф₀ (х₁), гдех₁=k₁-np/ √npq, х₂=k₂-np/ √npq

Наряду с номированной функцией Лапласа используют функцию , ɸ(x) =1/ √2П ∫^х_-∞ е^-t2/2dt, Ф (х) =0,5 +Ф₀ (х)

Понятие случайной величины.

Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины.

Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины (сокращенно: св.) обозначаются прописными латинскими буквами X, У, Z,... а принимаемые ими значения