Шпаргалка по Математике 3 (стр. 4 из 8)

где p и q – данные постоянные числа и

(правая часть уравнения) – известная функция от x .

Общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

и частного решения данного неоднородного уравнения.

Интегрирование

4.1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Пусть дано ЛОДУ второго порядка

где р и q постоянны.

Для нахождения общего решения уравнения (4.1) достаточно найти два его частных решения.

Будем искать частные решения уравнения (4.1) в виде

Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение (4.1),получим:

Уравнение (4.2) называется характеристическим уравнением ДУ (для его составления достаточно в уравнении (4.1) заменить у", у' и у соответственно на k2, k1).

При решении характеристического уравнения (4.2) возможны следующие три случая.

Случай 1. Корни k1 и k2 уравнения (4.2) действительные и различные:

общее решение уравнения (4.1), имеет вид

Случай 2. Корни k1 и k2 характеристического уравнения (4.2) действительные и равные:

В этом случае имеем лишь одно частное решение y1=ek1x. Покажем, что наряду с у1 решением уравнения (4.1) будет и у2=хеk1x. Действительно, подставим функцию у2 в уравнение (4.1). Имеем:

Но k12+pk1+q=0, т. к. k1 есть корень уравнения (4.2); р+2k1=0, т. к. по условию

Поэтому y''2+Py'2+qy2=0, т. е. функция у2=хеk1x является решением уравнения (4.1).

Частные решения

образуют фундаментальную систему решений: W(x)=e2k1x≠0. Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (4.1) имеет вид

Случай3. Корни k1 и k2 уравнения (4.2) комплексные

В этом случае частными решениями уравнения (4.1) являются функции

имеем

Найдем два действительных частных решения уравнения (4.1). Для этого составим две линейные комбинации решений y1 и у2:

Функции

являются решениями уравнения (4.1).Поэтому общее решение уравнения (4.1) запишется в виде или

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами,

где р и q - некоторые числа.

Для уравнений с постоянными коэффициентами существует способ нахождения у*, если правая часть ƒ(х) уравнения имеет так называемый «специальный вид»:

I.

или

II.

Случай 1. Правая часть (5.10) имеет вид

где а є R, Р_n(х) - многочлен степени n. Уравнение (5.10) запишется в виде

В этом случае частное решение у* ищем в виде:

где r - число, равное кратности а как корня характеристического уравнения

(т.е. r - число, показывающее, сколько раз а является корнем уравнения

- многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами А_i (i=l,2,...,n).

а) Пусть а не является корнем характеристического уравнения

т. е. Следовательно,

После подстановки функции у* и ее производных в уравнение (5.11), сокращения на

, получим:

Слева - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, справа - многочлен степени n, но с известными

коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему (n+1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов А_о, А₁,..., А_n.

б) Пусть а является однократным (простым) корнем характеристического уравнения

В этом случае искать решение в форме

нельзя, т. к. и уравнение (5.13) принимает вид

В левой части - многочлен степени (n-1), в правой части - многочлен степени n. Чтобы получить тождество многочленов в решении у*, нужно иметь многочлен степени (n+1). Поэтому частное решение у* следует искать в виде (в равенстве (5.12) положить r=1).

в) Пусть а является двукратным корнем характеристического уравнения k²+рк+q=0, т. е. а=k₁=k₂. В этом случае а²+ра+q=0 и 2а+р=0, а поэтомy уравнение (5.13) принимает вид

Слева стоит многочлен степени n-2. Понятно, чтобы иметь слева многочлен степени n, частное решение у* следует искать в виде

(в равенстве (5.12) положить r=2).

Случай 2. Правая часть (5.10) имеет вид

где Р_n(х) и Q_m(x) - многочлены степени n и m соответственно, а и β - действительные числа. Уравнение (5.10) запишется в виде

Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения (5.14) следует искать в виде

где r - число, равное кратности а+βi как корня характеристического уравнения

- многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, l - наивысшая степень многочленов Р_n(х) и

Замечания.

1. После подстановки функции (5.15) в (5.14) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.

2. Форма (5.15) сохраняется и в случаях, когда

3. Если правая часть уравнения (5.10) есть сумма функций вида I или II, то для нахождения у* следует использовать теорему 5.2 о наложении решений.

Пример 5.2. Найти общее решение уравнения

Решение: Найдем общее решение

ЛОДУ Характеристическое уравнение k²-2k+1=0 имеет корень k₁=1 кратнoсти 2. Значит, Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть есть формула вида причем а=0, не является корнем характеристического уравнения: . Поэтому, согласно формуле (5.12), частное решение у* ищем в виде - неопределенные коэффициенты. Тогда Подставив в исходноеуравнение, получим Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: