Шпаргалка по Математике 3 (стр. 3 из 8)
Интегрируя, можем найти функцию v:
Подставляя полученные значения, получаем:
Окончательно получаем формулу:
, С2 - произвольный коэффициент.Пример. Решить уравнение
Разделим уравнение на xy2:
Полагаем
.Полагаем
Произведя обратную подстановку, получаем:
Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений
Правея часть =0
.Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.
Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:
Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение
Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):
Интегрируя, получаем:
Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:
.Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.
При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.
Решить уравнение
Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:
Применим полученную выше формулу:
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.
Уравнения вида y(n) = f(x).
Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.
…………………………………………………………….
Уравнения, допускающие понижение порядка
одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является ме-тод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью заме-ны переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.
I. Пусть дано уравнение
Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у'=р(х). Тогда у''=p'(x) и получаем ДУ первого порядка: p'=ƒ(х). Решив его, т. е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение y'=р(х). Получим общее решение заданного уравнения (3.6).
На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.
Так как уравнение
можно записать в виде dy'=ƒ(х) dx. Тогда, интегрируя уравнение y''=ƒ(х), получаем: y'= 
или y'=j1 (x)+с1. Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: 
- общее решение данного уравнения. Если дано уравнение 
то, проинтегрировав его последовательно n раз, найдем общее решение уравнения: 
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида 
коэффициенты которого
и 
– непрерывные функции.Пусть
и 
– частные решения уравнения, т.е. не содержат произвольных констант.Два решения
и 
называются линейно независимыми, если можно подобрать постоянные числа 
и 
, не равные одновременно нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, т.е. 
В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения
и называются линейно независимыми, т.е. если функции и линейно независимые и имеет место тождество , то 
Постоянные коэфициенты
Если y1 и y2 – линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка , то общее решение данного уравнения есть линейная комбинация этих частных решений, т.е. общее решение уравнение имеет вид
Где C1 и C2 – произвольные постоянные.
Пусть линейное однородное дифференциальное уравнение
имеет постоянные коэффициенты p и q .
Будем искать частное решение данного уравнения в виде
Где k – постоянное число, которое нужно найти. Дифференцируя получаем
и
.Подставляя и в уравнение, получим
или, сокращая на множитель
, который не равен нулю, находим 
которого определяется число k , называется характеристическим уравнением данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида 