Шпаргалка по Теории Вероятности (стр. 1 из 2)
1) свойство вероятности: 20 стр.
Свойство 1. Вероятность невозможного события равна 0, т.е.
. 
.Свойство 2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е.
, 
Свойство 3. Для любого события
. 
, т.к. 
, то 
и следовательно 
.Свойство 4. Если события А и В несовместимы, то вероятность суммы равна сумме вероятностей:
Свойство 5. (обобщенная теорема сложения вероятностей)
.Свойство 6. (теорема сложения k слагаемых) Если события А1, А2,…, Аk попарно несовместимы, то
.Свойство 7. Если
(А влечет В), то 
. 
, тогда 
Свойство 8. Если
, то 
. Тогда 
Свойство 9.
. 
, 
.Свойство 10. Если события Н1, Н2,…,Нk образуют полную группу, то
. Т.к. 
, то по свойству 6: 
2)условная вероятность, независимость:
Условной вероятностью события B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение
, (реже 
). 
.Теорема (умножение вероятностей):
.Теорема (обобщенная теорема умножения).
3)формулы полной вероятности и Баеса: 23 стр.
Теорема 1. Если события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности:
, или 
.Так как события образуют полную группу, то можно записать
.Событие А может произойти только с одним из событий Hi, i
{1,2,…,n}, то А=АН1+АН2+…+АНn. По теореме сложения вероятностей 
Замечание: при применении формулы полной вероятности события Н1,Н2,…,Нn , образующие полную группу, называются гипотезами.
Теорема 2. Пусть события Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠0, тогда имеет место формула Байеса:
,Замечание. При применении формулы Байеса вероятности
называются априорными вероятностями гипотез. Вероятности P(H1|A),…,P(Hn|A) называют апостериорными вероятностями гипотез. 4)схема независимых испытаний Бернули. Полиномиальное распределение:
Предположим, что в результате испытания возможны два исхода: «У» и «Н», которые мы называем успехом и неудачей.
, 
, p+q=1.Предположим, что мы производим независимо друг от друга n таких испытаний.
Последовательность n испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания
независимы, а в каждом из них возможны два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.
Элементарным исходом будет являться:
(w1,w2,…,wn),
.Всего таких исходов 2n.
(1)Формула (1) показывает, что события независимы.
Обозначим через µ число успехов в n испытаниях Бернулли.
— вероятность того, что в n испытаниях произошло k успехов. Рассмотрим событие 
.По теореме сложения получим
Таким образом, получим
—формула Бернулли.Предположим, что в результате испытания возможны k исходов E1, E2, …, Ek,
P(Ei)=pi,
. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие E1 появиться r1 раз, E2 – r2 раз, …, Ek – rk раз вычисляется по формуле: 
где 
Эта формула полиномиальное распределения, обобщающая формулу Бернулли.
5)случайные велечины, функция распределения и её свойства.
Случайной величиной Х называется функция X(w), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множестве действительных чисел R.
Множество значений случайной величины обозначается Ωх. Одной из важных характеристик случайной величины является функция распределения случайной величины.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х.
. 
.Если рассматривать Х как случайную точку на оси ох, то F(x) с геометрической точки зрения—это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадет левее точки х.
Свойства функции распределения.
1.Функция распределения F(x)–неубывающая функция, т.е. для
таких что x1<x2 
.Пусть х1 и х2 принадлежат множеству Ωх и х1<х2.Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее, чем х2, т.е.
, представим в виде объединения двух несовместимых событий
Тогда по теореме сложения вероятностей получим
, т.е. 
. Поскольку 
, то 
.