Компактные операторы (стр. 3 из 6)

3. В пространстве

множество будет компактным, поскольку какую бы мы ни взяли бесконечную последовательность его элементов, из неё всегда можно будет выделить подпоследовательность, состоящую из одного элемента множества, которая, очевидно, будет сходящейся к этому элементу множества (определение).

4. В пространстве

рассмотрим множество элементов , , … (у последовательности единица стоит на –м месте, а на остальных местах нули). Оно ограничено и замкнуто, но никакая подпоследовательность последовательности не фундаментальна и, значит, не сходится, поскольку при . Множество некомпактно.

1.5 Линейные операторы и линейные функционалы

Пусть

– линейные нормированные пространства.

Определение: Линейным оператором, действующим из

в , называется отображение , удовлетворяющее условию: для любых , .

Будем говорить, что в

(вещественной или комплексной линейной системе) определен функционал , если каждому элементу поставлено в соответствие некоторое вещественное (комплексное) число .

Определение: Линейный оператор, действующий из Е в Е₁, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное.

Определение: Оператор А называется непрерывным в точке

, если для любой последовательности выполняется условие .

Определение: Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке пространства Е.

Теорема: Для того, чтобы линейный оператор

был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.

Доказательство.

1. Пусть оператор А неограничен. Тогда существует М

Е – ограниченное множество, такое, что множество АМ

Е₁не ограничено. Следовательно, в Е₁ найдется такая окрестность нуля V, что ни одно из множеств

АМ не содержится в V. Но тогда существует такая последовательность х_n

M , что ни один из элементов Ах_n не принадлежит V и получаем, что в Е, но не сходится к 0 в Е; это противоречит непрерывности оператора А.

2. Если оператор А не непрерывен в точке 0, то в Е₁ существует такая последовательность

, что Ах_n не стремится к 0. При этом последовательность ограничена, а последовательность не ограничена. Итак, если оператор А не непрерывен, то А и не ограничен.

Определение: Оператор называется конечномерным, если он ограничен и переводит данное пространство в конечномерное.

Определение: Функционал

называется линейным, если

Линейный функционал – это частный случай линейного оператора.

([1], стр. 217), ([1], стр. 125)

Примеры линейных функционалов:

1. Пусть

– мерное арифметическое пространство с элементами и – произвольный набор из – фиксированных чисел. Тогда является линейным функционалом.

2. Пример линейного функционала в

Пусть

– фиксированное целое положительное число. Для каждого из положим . Таким образом является линейным функционалом в .

1.6. Сопряженные операторы

Определение: Совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на некотором линейном нормированном пространстве

, образует линейное пространство, которое называется пространством, сопряженным с , и обозначается

Рассмотрим непрерывный линейный оператор

, отображающий линейное топологическое пространство в такое же пространство . Пусть – линейный функционал, определенный на , т. е. .

Применим функционал

к элементу . Функционал есть непрерывный линейный функционал, определенный на . Обозначим его через . Функционал есть, таким образом, элемент пространства (сопряженное с ). Каждому функционалу мы поставили в соответствие функционал , т.е. получили некоторый оператор, отображающий в . Этот оператор называется сопряженным к оператору и обозначается . Обозначив значение функционала на элементе символом , получим, что , или .