Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования
Алексей Юрьевич Виноградов к.ф.-м.н.
1. Введение.
На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных методом Фурье).
Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:
где
Краевые условия имеют вид:
где
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами
где
Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:
Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:
где
Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [1]:
предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования:
Вычисление вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:
Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов
Вектор
Для случая дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в приведенной выше формуле для каждого участка может использоваться осредненная матрица
Рассмотрим вариант, когда шаги интервала интегрирования выбираются достаточно малыми, что позволяет рассматривать вектор
Известно, что при T=(at+b) имеем
В нашем случае имеем
Тогда получаем
Тогда получаем ряд для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений на малом участке
Если участок
Имеем
Также имеем формулу для отдельного подучастка:
Можем записать:
Подставим
Сравним полученное выражение с формулой:
и получим, очевидно, что:
и для частного вектора получаем формулу:
То есть вектора подучастков
Аналогично запишем
Сравнив полученное выражение с формулой:
очевидно, получаем, что:
и вместе с этим получаем формулу для частного вектора:
То есть именно так и вычисляется частный вектор – вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, то есть так вычисляется, например, частный вектор
2. Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования – метод сопряжения участков, выраженных матричными экспонентами.
Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3 участка. Будем иметь точки (узлы), включая края:
Имеем краевые условия в виде:
Можем записать матричные уравнения сопряжения участков: