Теоремы софиста Горгия и современная математика (стр. 1 из 4)
Теоремы софиста Горгия и современная математика
Был такой античный софист Горгий. Знаменит он тем, что сформулировал три теоремы. Первая теорема звучит так: ничто в мире не существует. Вторая теорема: а ежели что и существует, то непознаваемо для человека. Третья теорема: а ежели всё-таки что-то познаваемо, то непередаваемо ближнему.
Другими словами, нет ничего, а ежели что-то есть, то мы об этом ничего не узнаем, а ежели даже что-то и узнаем, рассказать никому не сможем.
Я добавил бы к этим трём теоремам ещё четвёртую: если даже мы и сможем что-то рассказать, то никто не заинтересуется.
И вот эти четыре теоремы — это, собственно говоря, основные проблемы современной математики.
Первая теорема Горгия
Начнём с первой — ничто в мире не существует, или, в переводе на язык математики, математика занимается непонятно чем. В некотором смысле это действительно так. Ведь математических объектов в мире не существует. Самое простое, с чего всё начинается и чем математики всё время пользуются, — это натуральные числа. Что такое натуральные числа, все мы знаем — это 1, 2, 3, 4 и так далее. И вот то, что мы все понимаем смысл слов «и так далее» — это большая загадка. Потому что «и так далее» означает, что чисел «бесконечно много». В нашем мире нет места для того, чтобы было бесконечно много чего-то. Но все мы уверены, что когда мы думаем о натуральных числах, мы все думаем об одном и том же. Если у меня после 7 следует 8, то и у вас после 7 будет следовать 8. Если у меня 19 — простое число, то у вас 19 будет простое число. Вот почему? Вроде бы в мире этого объекта нет, но мы о нём знаем и все знаем примерно одно и то же. Это, конечно, загадка не математическая, это загадка философская, и пусть философы её обсуждают. Нам достаточно того, что, к счастью, мы всё-таки имеем представление о математических объектах и оно одно и то же у всех, кто начинает о них задумываться. И поэтому математика возможна. Но большая философская проблема остаётся.
Если, как это принято у математиков, задуматься об этом всерьёз, т.е. попытаться как-то строго об этом подумать, то тогда возникают проблемы, о которых я сейчас расскажу. Возникли они на памяти человечества совсем недавно, буквально в последнюю сотню лет.
Кроме натуральных чисел есть ещё много чего в математике. Есть наша евклидова плоскость, на которой мы рисуем всякие треугольники, углы, доказываем о них теоремы. Есть действительные числа, есть комплексные числа, есть функции, есть ещё что-то более страшное... Где-то на рубеже XIX–XX веков была проделана очень большая работа (хотя началась она, конечно, немного раньше), люди поняли, что всё многообразие математических объектов в принципе можно свести к единому понятию — понятию множества. Конечно, если мы просто имеем интуитивное представление о том, что такое множество и что такое «и так далее», мы сможем построить в принципе всю математику.
Что такое множество? Ну, это просто множество чего-то. Вопрос в том — что с множествами можно делать? Если у нас есть какое-то множество, то что означает, что оно у нас есть? Это означает, что про любой элемент нашего мира, мира математических объектов, мы можем спросить, а он в этом множестве лежит или не лежит, и получить ответ. Ответ однозначный, совершенно не зависящий от нашей воли. Вот это то первое, базовое, что можно с множествами делать, — узнавать, принадлежит элемент множеству или не принадлежит.
Конечно, нужно ещё сами эти множества как-то строить. Чтобы из них, в конце концов, построилось всё богатство математических объектов. Как их можно строить? Можно, скажем, построить пустое множество: Ø. Самое первое, самое простое. Про него мы что знаем? Что про какой бы элемент мы ни спросили, принадлежит ли он этому множеству или нет, ответ всегда будет — нет, не принадлежит. И этим пустое множество уже однозначно определено. Все вопросы о нём получают мгновенный ответ. Ура!
Теперь у нас уже есть вот это само пустое множество. И мы можем построить множество, которое ничего не содержит, кроме пустого множества: {Ø}. Опять же, что значит, что мы имеем это множество? Это значит, что про любой элемент мы можем спросить, он этому множеству принадлежит или нет. И если этот элемент — пустое множество, то ответ будет — «да». А если этот элемент любой другой, то ответ будет — «нет». Итак, это множество тоже задано.
С этого всё начинается. Можно использовать ещё несколько интуитивных операций. Если у нас есть два множества, то мы можем их объединить. Можно сказать, что теперь будет множество, в котором будут элементы из того или из другого множества. Опять же, ответ на вопрос, принадлежит ли элемент полученному множеству или нет, однозначен. Значит, объединение мы можем построить. И так далее.
В какой-то момент приходится отдельно объявить, что всё-таки у нас есть какое-то множество, в котором элементов бесконечно много. Поскольку мы знаем, что натуральные числа есть, мы верим, что бесконечное множество существует. Объявляем, что множество натуральных чисел у нас тоже доступно. Как только появляется бесконечное множество, так дальше уже можно пуститься во все тяжкие и определять уже всё что угодно. Можно определить целые числа. Целое число — это либо ноль, либо натуральное число, к которому приставлен или не приставлен знак минус. Всё это, (может, и не так очевидно, как я говорю), можно проделать и на языке теории множеств.
Можно определить рациональные числа. Что такое рациональное число? Это пара из двух чисел — числителя и (ненулевого) знаменателя. Нужно только определить, как их складывать, как их умножать между собой. И каковы условия, когда такие пары считать одним и тем же рациональным числом.
Что такое действительное число? Вот интересный шаг. Вы можете сказать, например, что это бесконечная десятичная дробь. Вполне хорошее будет определение. А что это значит — бесконечная десятичная дробь? Это значит, у нас есть какая-то бесконечная последовательность цифр, т.е. просто для каждого натурального числа мы знаем, какая цифра стоит на этом месте нашего действительного числа. Все такие последовательности образуют действительные числа. Опять же, мы можем определить, как их складывать, как их умножать, и так далее.
Кстати, математики предпочитают определять действительные числа не так, а вот каким образом. Возьмём все рациональные числа — мы их уже имеем. А теперь объявим, что действительное число — это множество тех рациональных чисел, которые его строго меньше. Вот такое очень хитрое определение. На самом деле, оно очень похоже на предыдущее. Например, если у нас есть действительное число 3, 1415926... (там дальше идёт бесконечная цепочка цифр, которую я наизусть не знаю), то какие, например, будут рациональные числа, меньшие его? Обрежем дробь на втором знаке после запятой. Получим число 3, 14, оно меньше нашего. Обрежем дробь на четвёртом знаке после запятой — получим 3, 1415, ещё одно рациональное число, меньшее нашего. Ясно, что если мы знаем все рациональные числа, меньшие нашего числа, то это число единственным образом определено. Наглядно можно представить себе такую картинку, как на рисунке 1.
Рис. 1.
Прямая — это все действительные числа, среди них где-то наше неизвестное, а слева от него много-много рациональных, которые его меньше. Все остальные рациональные будут, соответственно, его больше. Интуитивно понятно, что имеется единственная щёлочка между этими двумя наборами рациональных чисел, и вот эту щёлочку мы будем называть действительным числом. Это пример того, как, начиная с понятия множества, вся математика помаленьку раскручивается.
Зачем это нужно? Понятно, что на практике, конечно, никто этим не пользуется. Когда математик изучает, скажем, функции комплексного переменного, он не вспоминает каждый раз, что комплексное число — это пара действительных, что действительное — это бесконечное множество рациональных, что рациональное — это пара целых и так далее. Он уже работает с вполне сформированными объектами. Но в принципе всё можно расписать до самых основ. Будет очень длинно и не читаемо, но тем не менее это в принципе возможно.
А дальше чем математики занимаются? Они доказывают разные свойства этих объектов. Чтобы что-то доказать, нужно уже что-то знать, какие-то первоначальные свойства всех этих объектов. И более того, математики должны быть полностью согласны насчёт того, с каких первоначальных свойств начинать. Чтобы любой результат, полученный одним математиком, был принят всеми остальными.
Можно выписать несколько вот таких первоначальных свойств — они называются аксиомами, — и после этого из них доказывать все остальные свойства всё более и более сложных математических объектов. Но вот уже с натуральными числами начинаются трудности. Аксиомы-то есть, и мы чувствуем интуитивно, что они верны, но оказывается, бывают такие утверждения про натуральные числа, которые из этих аксиом не выводятся, но которые, тем не менее, верны. Скажем, натуральные числа удовлетворяют некоторому свойству, но из тех аксиом, которые приняты за основные, оно получено быть не может.
Сразу возникает вопрос, а откуда мы знаем тогда, что это свойство верно для натуральных чисел? Если мы его не можем вот так взять и доказать? Трудный вопрос. Получается примерно так. Если обходиться только аксиомами натуральных чисел, то об очень многих вещах в принципе даже невозможно и говорить. Например, невозможно говорить о произвольных бесконечных подмножествах натуральных чисел. Тем не менее, люди представляют себе, что это такое, и в принципе интуитивно понимают, какими свойствами эти подмножества определяются. Поэтому про некоторые свойства натуральных чисел, которые из аксиом не выводимы, люди могли знать, что они верны. И вот, математик Курт Гёдель, видимо, был первым, кто в явном виде показал некое свойство натуральных чисел, которое интуитивно верно (т.е. против того, что оно верно, математики не возражают), но при этом оно не выводимо из тех аксиом натуральных чисел, которые тогда были приняты.