Теоремы софиста Горгия и современная математика (стр. 3 из 4)

О том, как всё это происходит, конечно, рассказать я не могу, там чрезвычайно сложные утверждения, и нужно очень глубоко вкопаться в теорию множеств, во-первых, для того, чтобы понять, что они утверждают, а во-вторых, чтобы понять, что эти утверждения действительно можно считать интуитивно очевидными и принять за аксиомы. Вот этим занимается сейчас одна из самых загадочных областей математики — теория множеств.

Вторая теорема Горгия

Вторая теорема Горгия звучит так — если что и существует, то непознаваемо для человека. Сейчас я покажу несколько примеров утверждений, которые под эту категорию попадают.

С теорией множеств была проблема, имеем ли мы вообще право задавать вопросы вроде такого: «верна ли аксиома выбора?». Если мы хотим просто заниматься математикой, не вступая в противоречия, то мы в принципе можем и принять аксиому выбора, и принять, что она не верна. И в том и в другом случае мы сможем развивать математику, получая одни результаты в одном случае, другие — в другом, но никогда не придём к противоречию.

А вот теперь другая ситуация. Есть, видимо, результаты, ответ на которые очевидно существует, и очевидно он однозначно определён, но человечество его, может быть, никогда не узнает. Самый простой пример — это так называемая (3N + 1)-проблема, о которой я сейчас расскажу. Возьмём любое натуральное число. Если оно чётно, то разделим его пополам. А если оно нечётно, то умножим его на 3 и прибавим 1. С полученным числом проделаем то же самое, и так далее. Например, если мы начнём с тройки, получится

3 → 10 → 5 → 16 → 8 →	4	→ 2 →	1
	↑		↓

Если мы начнём с семёрки, немножко дольше будет продолжаться процесс. Уже начиная с некоторых маленьких чисел эта цепочка может оказаться достаточно длинной, но всё время она будет заканчиваться единичкой. Есть гипотеза, что с какого бы числа мы ни начали, если мы будем такую цепочку строить, то всегда обязательно доберёмся до 1. В этом и состоит (3N + 1)-проблема — верна ли эта гипотеза?

Мне кажется, что всё нынешние математики верят, что она верна. И некоторые самые безрассудные даже пытаются её доказать. Но ни у кого ничего не вышло. И не выходит уже много десятков лет. Так что это одна из привлекательных задач. Серьёзные математики, конечно, относятся к ней свысока — просто как к забавной головоломке. Неизвестно, что там будет, да и кому нужно знать, что там будет. Но несерьёзным математикам всё-таки интересно, справедлива гипотеза или нет. И пока её не доказали, совершенно всё что угодно тут может произойти. Во-первых, очевидно, что у этого вопроса ответ однозначный: да или нет. Либо правда, что, начиная от любого натурального числа, мы сползём к единице, либо неправда. Интуитивно ясно, что тут уже ни от какого выбора аксиом, ни от какой воли человеческой ответ не зависит. Так вот, есть предположение, что человечество никогда не узнает ответ на этот вопрос.

Конечно, если кто-то докажет эту гипотезу, то тогда мы узнаем ответ. Но что значит докажет? Это значит, что он объяснит нам, по каким причинам любое натуральное число сходится к 1, и эти причины окажутся для нас понятными.

Может случиться, что кто-то докажет, что некоторое 73-значное число обладает именно такими свойствами, что запустив от него эту цепочку, мы обязательно будем получать сколь угодно большие числа. Или докажет, что эта цепочка зациклится где-то в другом месте. Опять же, это будет причиной, почему гипотеза неверна.

А вот у меня, например, такой страшный кошмар: а что, если это утверждение верно, но без всякой на то причины? То есть верно, а причины, которую один человек может понять и объяснить другому, у этого утверждения нет вовсе. Тогда мы никогда не узнаем ответа. Потому что останется только перебрать все натуральные числа и для каждого проверить гипотезу. А это, естественно, вне наших сил. Закон сохранения энергии не позволяет проделать бесконечное количество операций за конечное время. Или конечность скорости света. В общем, физические законы не позволяют нам проделать бесконечное количество операций за конечное время и узнать результат.

Очень многие нерешённые задачи как раз относятся именно к этой области, т.е. в принципе их очень хотят решить. Некоторые из них скорее всего решат. Вы все наверняка слышали название «гипотеза Римана». Может быть кто-нибудь из вас даже смутно понимает, что эта гипотеза гласит. Я лично понимаю очень смутно. Но с гипотезой Римана, по крайней мере, более менее ясно, что она верна. Все математики в неё верят, и, я надеюсь, её докажут в ближайшее время. А есть некоторые утверждения, которые никто не может пока ни доказать, ни опровергнуть, и даже в гипотезе нет уверенности, какой из двух ответов верен. Возможно, что на какие-нибудь из этих вопросов человечество в принципе никогда ответов не получит.

Третья теорема Горгия

Третья теорема — ежели что-то и познаваемо, то непередаваемо ближнему. Тут как раз самые жгучие проблемы у современной математики и самые, может быть, муссируемые. Человек что-то доказал, но рассказать это доказательство другому человеку он не способен. Или убедить другого человека в том, что он действительно это доказал. Так бывает. Самый первый пример из этой области и самый известный публике — это проблема четырёх красок. Но это ещё не самая тяжёлая ситуация, которая здесь возникает. Я сейчас расскажу немножко про проблему четырёх красок, а потом покажу ситуации более безумные.

Что такое проблема четырёх красок? Это вопрос из теории графов. Граф — это просто некоторые вершины, которые могут быть соединены между собой рёбрами. Если мы эти вершины сможем нарисовать на плоскости, и рёбрами соединить так, чтобы рёбра между собой не пересекались, получится граф, который называется плоским. Что такое раскраска графа? Мы красим его вершины в разные цвета. Если мы это сделали так, что соседние по ребру вершины всегда разного цвета, раскраска называется правильной. Хочется правильно покрасить граф, использовав как можно меньше различных цветов.

Рис. 5.

Вот, например, на рисунке 5 у нас есть три вершины, которые попарно соединены — значит, никуда не денешься, эти вершины будут обязательно иметь три разных цвета. Но вообще для покраски этого графа хватает четырёх цветов (а трёх не хватает, можете проверить).

Сто лет стояла проблема: правда ли, что любой граф, который можно нарисовать на плоскости, можно раскрасить в четыре цвета? Кто-то верил и пытался доказать, что четырёх цветов всегда хватит, кто-то не верил и пытался придумать пример, когда четырёх цветов не хватит. Ещё была такая неприятность: проблема очень легко формулируется. Поэтому многие люди, даже несерьёзные математики, накинулись на неё и стали пытаться её доказывать. И предъявляли огромное количество якобы доказательств или якобы опровержений. Посылали их математикам, кричали в газетах: «Ура! Я доказал проблему четырёх красок!» — и даже выпускали книжки с ошибочными доказательствами. Словом, большой был шум.

В конце концов её доказали К. Аппель и В. Хакен. Схему доказательства я вам сейчас примерно опишу. И заодно мы увидим, почему это доказательство непередаваемо другим. Начали люди с того, что всерьёз стали изучать, как устроены плоские графы. Они предъявили список из нескольких десятков конфигураций и доказали, что в каждом плоском графе какая-то из этих конфигураций обязательно найдётся. Это первая половина доказательства. А вторая половина доказательства — для каждой из этих конфигураций можно проверить, что если она в нашем графе есть, то его удастся раскрасить в четыре цвета.

Более точно, дальше доказательство идёт от противного. Предположим, что наш граф нельзя раскрасить в четыре цвета. Из первой половины мы знаем, что в нём есть какая-то конфигурация из списка. После этого для каждой из этих конфигураций проводится такое рассуждение. Предположим, что наш граф содержит эту конфигурацию. Выкинем её. По индукции, то, что осталось, в четыре цвета красится. И проверяем, что как бы мы ни раскрасили оставшееся в четыре цвета, вот эту саму конфигурацию докрасить нам удастся.

Самый простой пример докрашиваемой конфигурации — вершина, которая соединена всего с тремя другими. Понятно, что если в нашем графе есть такая вершина, то мы можем оставить раскрашивание её напоследок. Раскрасим всё остальное, а потом посмотрим, к каким цветам присоединена эта вершина, и выберем четвёртый. Для других конфигураций рассуждения аналогичные, но более сложные.

Теперь, как всё это было проделано? Проверить, что каждая из такого большого количества конфигураций всегда докрашивается, руками невозможно — надо слишком много времени. И вот эту проверку поручили компьютеру. А он, перебрав большое количество случаев, действительно проверил, что это так. В результате появилось доказательство проблемы четырёх красок.

Первоначально выглядело оно вот как. Человеческая часть рассуждения, записанная в толстой книге, и к ней прилагались фразы, что окончательная проверка того, что всё раскрашивается, была поручена компьютеру, и даже текст компьютерной программы приводился. Эта программа всё просчитала и всё проверила — действительно, всё нормально, и значит, теорема четырёх красок доказана.

Тут же поднялся шум — можно ли такому доказательству верить. Ведь большая часть доказательства проведена компьютером, а не человеком. «А вдруг компьютер ошибся?» — говорили такие недалёкие люди.