В общем виде «последняя геометрическая теорема Пуанкаре» была вскоре после его смерти доказана — тогда молодым — американским математиком Дж. Д. Биркгофом, сразу прославившимся этим результатом. Но сейчас для нас важно констатировать, как глубоко мог Пуанкаре предвидеть значение топологических теорем типа «теорем о неподвижных точках» для анализа и для небесной механики, и отметить его как основоположника «метода неподвижных точек».
Сила геометрической интуиции Пуанкаре приводила иногда к тому, что он пренебрегал педантической строгостью доказательств. Тут есть ещё и другая сторона: находясь под постоянным наплывом множества идей в самых различных областях математики, Пуанкаре «не успевал быть строгим», он часто бывал удовлетворён, когда его интуиция давала ему уверенность в том, что доказательство той или иной теоремы можно довести до полной логической безукоризненности, завершение доказательства предоставлял другим. Среди «других» бывали математики самого высокого ранга. Я привожу письмо Пуанкаре к Брауэру (относящееся к последнему году жизни Пуанкаре и, насколько я знаю, ещё нигде не опубликованное), которое, как мне кажется, хорошо иллюстрирует только что приведённую мысль.
ПИСЬМО ПУАНКАРЕ К БРАУЭРУ
Дорогой коллега,
я очень благодарен Вам за Ваше письмо; но я не вижу, почему Вы сомневаетесь, что соответствие между двумя многообразиями является аналитическим; модули поверхностей Римана могут выражаться аналитически через константы фуксовых групп; правда, надо придавать некоторым переменным лишь вещественные значения, но функции этих вещественных переменных вовсе не потеряют своего аналитического характера.
Но, может быть, Вы видите трудность в том, что одно из этих многообразий зависит не от констант группы, а от инвариантов. Если мне не изменяет память, я рассматривал многообразие, зависящее от констант фундаментальных подстановок группы; группе будет тогда соответствовать дискретная бесконечность точек этого многообразия; я подразделил затем это многообразие на частичные многообразия таким образом, чтобы одной группе соответствовало по одной точке в каждом из этих частных многообразий (таким же образом, каким разбивают плоскость на параллелограммы периодов или фундаментальный круг на фуксовы многоугольники). Мне кажется, что при этом [не] может нарушиться аналитический характер соответствия.
Что касается многообразия поверхностей Римана, то можно встретиться с затруднениями, если их рассматривать так, как это делал сам Риман. Можно, например, задать себе вопрос, не образует ли множество этих поверхностей два раздельных многообразия. Трудность исчезает, если рассматривать эти поверхности с точки зрения Клейна; непрерывность, отсутствие особенностей, возможность перейти от одной поверхности к другой непрерывным образом превращаются тогда в истины почти интуитивные.
Я прошу у Вас извинения за отрывочный и беспорядочный характер этих объяснений: я не надеюсь, что они Вас удовлетворят, потому что я очень плохо их изложил; но думаю, что они дадут Вам возможность уточнить те места, которые Вас затрудняют, с тем чтобы я мог потом вполне Вас удовлетворить. Я счастлив, что это обстоятельство даёт мне возможность войти в контакт с человеком Ваших достоинств.
Ваш преданный Вам коллега
Пуанкаре
Дата [по почтовому штемпелю] — 10 декабря 1911 г.
Приведённое письмо интересно не только как иллюстрация к некоторым чертам творческой манеры Пуанкаре; оно показывает также, что Пуанкаре был высокого мнения о математических, а именно — топологических работах Брауэра. Речь может идти лишь о работах Брауэра, относящихся к двухлетию 1909–1911 гг. Очевидно, Пуанкаре не только хорошо знал эти работы в конце 1911 г. (когда написано его письмо), но и ценил их глубину. Между тем, топологические работы Брауэра написаны в высшей степени трудно, и уж совсем не в классическом стиле. Следовательно, Пуанкаре даже в последний год своей жизни нашёл в себе достаточно энергии и любознательности, чтобы овладеть математическими результатами и методами, относящимися к совсем другой манере математического творчества, чем его собственная, — черта, свойственная только самым большим учёным! Этой чертой Пуанкаре обладал в течение всей своей жизни. В 1883 г. Г. Кантор построил совершенно нигде не плотное (на отрезке) множество, носящее его имя («канторов дисконтинуум»). Это было гениальное открытие не только по тому значению, которое канторово множество приобрело во всей математике, но и потому, что в математику вошла совершенно новая конструкция, непохожая ни на что, известное в науке до того. Кантор увидел геометрический образ, выходивший за пределы того, что считалось подвластным геометрической интуиции, небывало расширив этим его горизонты, самые возможности нашего пространственного воображения. Он показал впервые, что эти возможности могут простираться на образования, относящиеся к той самой теории множеств, даже принадлежность которой к математике оспаривалась видными и уважаемыми учёными (например, Кронекером). И вот Пуанкаре был не только одним из первых математиков, воспринявших открытие Кантора; он был положительно первым математиком, применившим его к конкретно-аналитическим исследованиям — как говорят химики — in statu nascendi — в самый момент зарождения этого нового, столь непохожего на на всю старую науку математического «существа».
Многие выдающиеся математики сделали те или иные замечательные специальные конструкции, идя по новому пути геометрической интуиции, проложенной Кантором: Брауэр построил свои первые примеры неразложимых континуумов, Антуан — свои поразительные дуги, фундаментальная группа дополнительного пространства к которым отлична от нуля, Александер — свои «рогатые» сферы. Но первый шаг сделал Кантор, а Пуанкаре был первым, кто понял не только значительность этого первого шага, но и его плодотворность для математического анализа, а с ним и для всей математики. Заметим наконец, что, как показывает последний мемуар Пуанкаре, он к концу своей жизни в значительной степени владел техникой геометрической теории множеств, как она сложилась к тому времени.
Вернёмся к введённому Пуанкаре понятию гомологии. Как уже было упомянуто, это понятие было введено в первом топологическом мемуаре Пуанкаре — в знаменитом «Analysis Situs» — интуитивным образом. Однако в данном случае этот недостаточно строгий подход имел, так сказать, и фактические последствия, послужившие поводом к обоснованной критике норвежского математика Хегора (Heegaard). Дело в том, что в своём первом мемуаре Пуанкаре не обратил должного внимания на феномен кручения, ограничившись в основном числами Бетти. Но он блестяще восполнил допущенный пробел в своих последующих публикациях по топологии (в «Дополнениях к «Analysis Situs»). При этом Пуанкаре стал на комбинаторную точку зрения, введя понятие симплициального разбиения (триангуляции) многообразия, т.е. понятие симплициального комплекса, и создал таким образом основной метод комбинаторной топологии. Вероятно, Пуанкаре считал интуитивно ясным, что введённые им гомологические характеристики многообразия (и вообще полиэдра 1) не могут зависеть от выбора той или иной триангуляции этого полиэдра. Однако, как мы знаем, этот факт является глубокой и трудной теоремой топологии. Для её доказательства, кроме понятия сколь угодно мелкого подразделения данной триангуляции, которым Пуанкаре, конечно, владел, нужно было ещё (опирающееся на понятие подразделения) понятие симплициального (т.е. кусочно линейного) приближения непрерывного отображения (являющееся обобщением приближения непрерывной кривой вписанной в неё ломаной) и тот или иной эквивалент понятия степени отображения (т.е. кратности, с которой при данном непрерывном отображении — скажем, симплекса X на симплекс Y или одного многообразия X на другое многообразие Y той же размерности, — многообразие Y покрывается образом многообразия X). Оба эти фундаментальные понятия были введены Брауэром в 1911 г., т.е. накануне смерти Пуанкаре; при их помощи Брауэр доказал свои знаменитые теоремы о топологической инвариантности числа измерений n-мерного многообразия и об инвариантности внутренних точек для множеств, лежащих в нём; общую теорему Жордана (в n-мерном случае); теоремы о неподвижных точках и др. Однако саму теорему об инвариантности гомологических характеристик полиэдра Брауэр не доказал, хотя и владел всеми необходимыми для этого средствами; это впервые сделал в 1915 г. знаменитый американский тополог Александер.
Доказательство теоремы инвариантности было первым существенным шагом в дальнейшем развитии созданной Пуанкаре теории гомологий. Следующий шаг, в отличие от первого, не был связан с преодолением конкретных математических трудностей, но имел тем не менее большое принципиальное значение. Он был сделан знаменитой алгебраисткой Эмми Нётер (в 1925–1926 гг.) и заключается в замене числовых гомологических характеристик, данных Пуанкаре — чисел Бетти и коэффициентов кручения — одним понятием группы Бетти (или, как теперь предпочитают говорить — гомологической группы). Некоторые выдающиеся топологи — например, Лефшец — на первых порах скептически отнеслись к нововведению, предложенному Нётер, считая его лишь формальным (действительно, казалось бы, нет существенной разницы, говорить ли непосредственно о группе Бетти полиэдра или о вполне определяющей её совокупности числовых характеристик — её ранге, т.е. числе Бетти и её коэффициентах кручения). Однако уже ближайшие исследования показали, что речь идёт не о словах.
В частности, и прежде всего, при старом подходе, без понятия гомологических групп, невозможно было бы развитие одной из замечательнейших топологических теорий — теории топологической двойственности, первые основы которой были заложены самим Пуанкаре и которая далее развилась в новых направлениях и аспектах Александером, затем — во всей её глубине Понтрягиным и другими математиками.