Другим предтечей теории фракталов был Абрам Самойлович Безикович. Он родился в 1891 году в России. В 1912 году окончил Петербургский университет и с 1917 года был профессором Пермского университета.
Научное творчество и преподавательскую деятельность Безиковича отличали особое изящество и глубина результатов, как правило, тонких и весьма нетривиальных. Примером тому может служить решённая (опровергнутая) Безиковичем проблема японского математика Какейя, которую можно сформулировать так: не выводя из плоскости единичный отрезок АВ, совместить его с ним же самим в перевёрнутом виде (так, чтобы конец В в новом положении совпал с концом А в исходном, а конец А в новом положении совпал с концом В в исходном), следя за тем, чтобы отрезок АВ при этом замёл наименьшую площадь.
Перевернуть отрезок АВ можно, например, двумя способами. Во-первых, повернуть АВ на 180 градусов вокруг точки А и сдвинуть на единичное расстояние, чтобы совместить с исходным отрезком. При этом единичный отрезок АВ заметёт полукруг радиусом 1 и площадью π/2. Во-вторых, отрезок АВ можно повернуть на 180 градусов вокруг его середины. При этом единичный отрезок АВ заметёт круг радиусом 1/2 и площадью π/4. А нельзя ли перевернуть отрезок АВ так, чтобы он замёл ещё меньшую площадь? Какейя ответил на этот вопрос утвердительно, предложив способ переворачивания, при котором единичный отрезок АВ заметает внутренность гипоциклоиды с тремя точками возврата (заострениями) площадью π/8 и высказал гипотезу, что эта площадь минимальна.
В разгар гражданской войны (1919) Безикович сумел опровергнуть гипотезу Какейя, доказав, что единичный отрезок можно перевернуть так, чтобы он замёл сколь угодно малую площадь!
О силе полученного результата и впечатлении, которое он произвёл на математическое сообщество, можно косвенно судить по тому, что его автор в 1920 году был избран профессором Петроградского университета. Сам Безикович, пронёсший через всю жизнь любовь к трудным и красивым («олимпиадным») задачам, называл себя экспертом по математической «патологии»: стоило ему заподозрить, что какая-то гипотеза неверна, как он не успокаивался до тех пор, пока ему не удавалось построить контрпример.
В начале двадцатых годов Безикович был удостоен Рокфеллеровской стипендии, дававшей ему возможность поработать в лучших зарубежных математических центрах, но неоднократные обращения к властям за разрешением на выезд неизменно наталкивались на отказ. И тогда мало-помалу созрел план покинуть Россию нелегально. К Безиковичу (события происходили в 1924 году) должны были присоединиться А.А. Фридман — автор знаменитого нестационарного, то есть зависящего от времени, решения уравнений Эйнштейна — и математик Я.Д. Тамаркин. В последний момент из-за болезни А.А. Фридман вынужден был остаться.
Из Латвии, куда беглецы с риском для жизни переправились по ещё не окрепшему льду пограничной реки, Безикович отправился в Копенгаген, где на средства Рокфеллеровской стипендии смог поработать вместе с Гаральдом Бором, братом великого физика Нильса Бора, над теорией почти периодических функций. Именно в эту теорию и в теорию дробных размерностей Безикович внёс свой наиболее существенный вклад.
После Копенгагена Безикович в течение нескольких месяцев работал в Оксфорде с Г.Г. Харди, а с 1927 года обосновался в Кембридже, где с 1930 года и до конца жизни (Безикович скончался в 1970 году) состоял членом знаменитого Тринити-колледжа (колледжа Св. Троицы).
И Хаусдорф, и Безикович были бы немало удивлены, если бы узнали, какой интерес вызвали у потомков их работы по дробным размерностям.
И опять, и опять, и опять...
Среди множества необычных объектов, построенных математиками в конце XIX — начале XX века при пересмотре оснований математики, многие оказались фракталами, то есть объектами с дробной, или фрактальной, размерностью Хаусдорфа–Безиковича. Все они очень красивы и часто носят поэтические названия: канторовская пыль, кривая Пеано, снежинка фон Коха, ковёр Серпинского и т.д. И все они обладают одним очень важным свойством, которое роднит их с самой обыкновенной прямой. Это свойство называется самоподобием: все эти фигуры подобны любому своему фрагменту.
Суть самоподобия можно пояснить на следующем примере. Представьте себе, что перед вами снимок «настоящей» геометрической прямой, «длины без ширины», как определял линию Евклид, и вы забавляетесь с приятелем, пытаясь угадать, предъявляет ли он вам исходный снимок (оригинал) или увеличенный в нужное число раз снимок любого фрагмента прямой. Как бы ни старались, вам ни за что не удастся отличить оригинал от увеличенной копии фрагмента: прямая во всех своих частях устроена одинаково, подобна самой себе, но это её замечательное свойство несколько скрадывается незамысловатой структурой самой прямой, её «прямолинейностью».
Если вы точно так же не сможете отличить снимок какого-нибудь объекта от надлежащим образом увеличенного снимка любого его фрагмента, то перед вами — самоподобный объект. Все фракталы, обладающие хотя бы какой-нибудь симметрией, самоподобны.
Самоподобие означает, что у объекта нет характерного масштаба: будь у него такой масштаб, вы сразу бы отличили увеличенную копию фрагмента от исходного снимка. Самоподобные объекты обладают бесконечно многими масштабами на все вкусы.
Разумеется, далеко не все фракталы обладают столь правильной, бесконечно повторяющейся структурой, как те замечательные экспонаты будущего музея фрактального искусства, которые рождены фантазией математиков и художников. Многие фракталы, встречающиеся в природе (поверхности разлома горных пород и металлов, облака, турбулентные потоки, пена, гели, контуры частиц сажи и т.д.), лишены геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте статистические свойства целого. Такое статистическое самоподобие, или самоподобие в среднем, выделяет фракталы среди множества природных объектов.
Даже простейшие из фракталов — геометрически самоподобные фракталы — обладают непривычными свойствами. Например, снежинка фон Коха обладает периметром бесконечной длины, хотя ограничивает конечную площадь. Кроме того, она такая колючая, что ни в одной точке контура к ней нельзя провести касательную (математик сказал бы, что снежинка фон Коха нигде не дифференцируема).
Не менее необычна и увлекательна физика фракталов. Фрактальные среды обладают настолько сложной геометрией, что многие процессы протекают в них не так, как в обычных сплошных средах, о чём мы расскажем чуть ниже.
Фрактальные свойства — не блажь и не плод досужей фантазии математиков. Изучая их, мы учимся различать и предсказывать важные особенности окружающих нас предметов и явлений, которые прежде, если и не игнорировались полностью, то оценивались лишь приблизительно, качественно, на глаз. Например, сравнивая фрактальные размерности сложных сигналов, энцефалограмм или шумов в сердце, медики могут диагностировать некоторые тяжёлые заболевания на ранней стадии, когда больному ещё можно помочь.
Барабан, натянутый на гладкий или фрактальный контур, звучит по-разному, и это различие можно использовать для диагностики характера контура и определения его фрактальной размерности.
Метеорологи научились определять по фрактальной размерности изображения на экране радара скорость восходящих потоков в облаках, что позволяет с большим упреждением выдавать морякам и лётчикам штормовые предупреждения.
Такого рода применений фракталов уже сейчас существует великое множество, и число их всё увеличивается. Об одном неожиданном применении и не менее неожиданном примере природного статистически самоподобного фрактала мы хотим рассказать несколько подробнее, тем более что это даёт нам возможность обратить внимание на одно чрезвычайно важное обстоятельство, которое обычно упускают из виду или замалчивают, — роль наблюдателя и разрешающей способности приборов при определении размерности.
Велика ли протяжённость береговой линии Великобритании?
При разборе архива выдающегося специалиста по гидродинамике Луиса Фрая Ричардсона среди его бумаг были обнаружены черновики удивительного исследования. Несколько перефразируя слова Льюиса Кэрролла, можно сказать, что при переходе от географии к мелким камешкам он обнаружил неограниченное увеличение протяжённости береговой линии. Контуры доброй старой Англии вели себя совсем не так, как полагалось бы евклидовой кривой. Но если береговая линия Великобритании не кривая, то что это? Теперь ответ известен: фрактал.
Публикуя данные Ричардсона, Мандельброт привёл свои оценки фрактальной размерности Хаусдорфа–Безиковича для нескольких береговых линий. Они колебались от почти единицы для сравнительно гладкого (взгляните на любую карту!) южного побережья Африки до 1,3 — для западного побережья Великобритании и рекордной отметки 1,52 — для изрезанного фьордами побережья Норвегии.
С точки зрения мухи
Вопрос о том, является ли данный предмет гладким или фрактальным, сам по себе лишён смысла. Ответ на подобный вопрос зависит от остроты зрения наблюдателя или от разрешающей способности прибора, которым он пользуется, то есть от того, насколько мелкие детали различает наблюдатель. Гладкая поверхность высочайшего класса обработки при соответствующем увеличении будет выглядеть, как горный ландшафт, подвергшийся интенсивной бомбардировке метеоритами.
Относительно и само понятие размерности. Бенуа Мандельброт иллюстрирует это следующим примером.
Клубок шерсти кажется мухе с большого расстояния точкой (топологическая размерность 0). Подлетев поближе, муха видит «большую точку» — диск (топологическая размерность 2). С ещё более близкого расстояния муха видит, что перед ней шар (топологическая размерность 3). Во всех случаях все неровности сглаживаются из-за большого расстояния, и размерность Хаусдорфа–Безиковича совпадает с топологической размерностью. Подлетев совсем близко, муха видит перед собой клубок гладких ниток, то есть хитрым образом сложенную пространственную кривую (топологическая размерность 1). И лишь сев на клубок, муха видит пушинки, обрамляющие нить, то есть ощущает фрактальность шерстяной нити.