НАСКОЛЬКО СЛУЧАЕН ИСХОД БРОСАНИЯ МОНЕТЫ?
Рассмотрим теперь конкретный пример. Идеальная, детерминированная игра «орёл или решка» очень хорошо описывается разностным уравнением (3). При заданном X0 мы можем детерминированно вычислять последовательные значения Xn и тем самым определять, получим ли мы 1 или 0 (орёл или решку), по первой двоичной цифре каждого результата итерации Xn. Такой процесс строго детерминирован. Для него нетрудно доказать теоремы существования и единственности. В то же время этот процесс полностью случаен, потому что строки цифр почти для всех X0 случайны. Как же такое может быть? Разве это не противоположные понятия? Разве полная детерминированность и полная случайность не исключают друг друга?
Само по себе уравнение (3) есть не что иное, как конечный алгоритм, итерации которого позволяют по заданному X0 вычислять все Xn. В таком итерационном процессе детерминированность ничем не стеснена. Не наносят ущерба детерминированности и теоремы существования и единственности, в которых начальное значение X0 предполагается заданным. Следовательно, детерминированность или её отсутствие в последовательности исходов бросаний монеты зависит исключительно от мелких деталей в задании или определении X0 — задачи настолько тривиальной, что в литературе о ней вообще не упоминается. Но так ли тривиальна эта задача? В ответ на этот вопрос теория сложности алгоритмов указывает, что почти все числа X0 не только невычислимы, но и неопределимы. Несмотря на почти трёхсотлетнее существование предрассудка, заставлявшего утверждать обратное, задание или определение начального значения X0, как теперь ясно, требует сверхчеловеческого искусства. Уравнение (3) и описываемая им игра в орлянку идеальной монетой сохранят детерминированность лишь при условии, что человек сможет производить вычисления с помощью бесконечных алгоритмов максимальной сложности и понимать определения, содержащие слова бесконечной длины. Нужна также способность воспринимать бесконечно малые различия, сравнимая по тонкости разве что с божественной, ибо уравнение (3), подобно всем своим полностью хаотическим собратьям, бурно реагирует на малейшую ошибку. Всякая начальная неопределённость в задании X0 с увеличением числа итераций n возрастает экспоненциально. Именно вследствие экспоненциального роста ошибки детерминированность с практической точки зрения в лучшем случае оказывается лишь локальной во времени, быстро и бесследно исчезающей под лавиной всё подавляющей ошибки.
Несмотря на широко распространённое убеждение в обратном, «монета», описываемая уравнением (3), предстаёт как полностью случайная, но разве можно считать, что тем самым детерминированность полностью исключена? Разумеется, нет, поскольку традиционные представления теории вероятностей содержат столь же широкие неявные допущения, как и традиционные представления о детерминированности. В частности, представление о том, что случайность не оставляет места для детерминированности, основано на предположении о невозможности бесконечной точности наблюдений или вычислений. Если же предположить, что наблюдатель и вычислитель бесконечно искусны, то уравнение (3) даёт детерминированную схему вычисления случайного процесса выпадения орла и решки. Исторически в детерминистских теориях не было осознано, что расчёт случайной траектории становится возможным благодаря неявному допущению бесконечной точности, так же как в вероятностных теориях не было осознано, что бесконечная точность может служить связующим звеном с детерминированностью. К вопросу, о том, имеет ли бесконечная точность физический смысл, мы вернёмся несколько позже.
Здесь же нам хотелось бы небольшим замечанием предотвратить недоразумение, которое могло бы возникнуть в связи с тем, что мы говорили раньше о разностном уравнении (3). Мы подчёркивали, что случайность результатов итераций обусловлена случайностью в строке цифр для каждого начального состояния X0. Таким образом, может показаться, что вся случайность зависит только от случайности и невычислимости начального состояния X0. Но вдумчивый читатель сразу же заметит, что большинство решений разностных уравнений возникают из начальных данных X0, содержащих случайные строки цифр. Почему же, если наши рассуждения верны, не все разностные уравнения случайны? Не вдаваясь в технические подробности, я отвечу, что хотя случайный характер начального состояния X0 и может очень сильно сказываться на результатах итерации разностного уравнения, это отнюдь необязательно. Рассмотрим, например, простое разностное уравнение, или отображение,
| Xn+1 = Xn + b (mod 1), | (7) |
где b — иррациональное число. Решение этого уравнения имеет вид
| Xn = nb + X0 (mod 1). | (8) |
Известно (т.е. строго доказано), что в силу иррациональности числа b результаты итерации X0, даваемые формулой (7), плотны и равномерно распределены на единичном интервале. И даже этот самый слабый и неслучайный вариант «хаоса», получивший название эргодичности [3, 4], отнюдь не зависит от какой бы то ни было случайности в строке цифр числа X0. Действительно, предположим, что в начальное значение X0 вкралась малая ошибка ΔX0. Тогда из уравнения (8) мы сразу же находим, что ΔXn = ΔX0, т.е. ошибка не возрастает с увеличением числа итераций. Уравнение (7) отображает конечные интервалы целиком, как жёсткие единицы, а поэтому ясно, что наличие или отсутствие случайности в числовой записи внутренней точки X0 несущественно для дальнейшей истории траектории. Важно, что в полностью хаотических, случайных системах ошибка нарастает экспоненциально. Именно поэтому траектории такой системы весьма чувствительны к точности задания начального состояния и его случайному характеру. В нехаотических же системах ошибка нарастает не так быстро и, как уже отмечалось, для точного определения грубозернистого будущего достаточно грубозернистого прошлого. Итак, хаотическая траектория случайна и невычислима, содержащаяся в ней информация бесконечна и несокращаема. Чтобы получить хаотическую траекторию, мы можем ввести необходимую бесконечную информацию либо в начальное состояние X0, либо в разностное уравнение, задающее алгоритм, либо в то и другое. Какой способ выбрать — это дело вкуса.
СЛЕДСТВИЯ
Почти во всех физических теориях (в том числе и в квантовой механике) рассматриваются уравнения для скоростей изменения непрерывных переменных. Приверженцы таких теорий стоят за континуум, упирая на то, что для любой переменной, взятой в отдельности, в принципе нет никаких пределов точности измерения. Тем не менее даже самые верные защитники континуума не берутся утверждать, что точность наших наблюдений когда-либо сможет стать бесконечной. Но без бесконечной точности континуум, как показывает теория сложности, утрачивает смысл, если подходить к нему с физических позиций. И это не просто небольшое замечание педагогического или математического характера. Если говорить о физическом эксперименте, то в нехаотической системе ошибка наблюдения возрастает медленно, т.е. начальная ошибка при последующих наблюдениях умножается на некоторую степень времени t, и потому такие системы обычно позволяют нам придерживаться фикций детерминированности и континуума, по крайней мере в лабораторных масштабах времени. К сожалению, нехаотические системы почти столь же редкая вещь, как птичье молоко, хотя наше физическое понимание природы и опирается в основном на их изучение. В хаотических же системах, распространённых гораздо шире и составляющих подавляющее большинство систем, ошибки наблюдений возрастают, как правило, экспоненциально быстро и детерминированность и континуум утрачивают смысл даже во впечатляюще коротких временных масштабах человека. Например, если ошибка в величине X0 в уравнении (3) равна 10–31, то детерминированность полностью исчезает приблизительно к сотой итерации.
Какие следствия вытекают из всего сказанного? Не даст ли нам теория сложности алгоритмов вешки для разметки дороги в будущее?
За три столетия ньютоновская динамика дважды спотыкалась о допущения бесконечности того, что на самом деле не было бесконечным: скорости света c и величины, обратной постоянной Планка h, т.е. 1/h. Стремление избавиться от этих бесконечностей привело сначала к созданию специальной теории относительности, а затем — к созданию квантовой механики. Теория сложности алгоритмов вскрыла третье неявное допущение бесконечности: на этот раз — бесконечной точности наблюдений и вычислений. Вследствие этого ньютоновская динамика сейчас стоит перед необходимостью третьего пересмотра, влияние которого на науку может по значимости не уступать двум предыдущим. Кроме того, и квантовая механика, сама появившаяся в результате второй революции, не останется в стороне от грядущей третьей революции, поскольку в квантовой механике тоже делается предположение о бесконечной точности измерений и вычислений. Как мы сейчас видим, Эйнштейн был прав и квантовая механика неполна. Ибо, если приверженцы квантовой механики располагают бесконечной точностью, необходимой для вычисления точной эволюции во времени непрерывных переменных, то они должны вычислить по-детерминистски все случайные переменные в своей теории. Отказ же от бесконечной точности требует пересмотра квантовой механики, не уступающего по масштабам пересмотру классической динамики.
Нам потребовались века и века, чтобы, несмотря на какое-то внутреннее сопротивление, познать дискретность и конечность в окружающем мире. Ещё у древних греков возникла идея заменить материальный континуум дискретными атомами, и лишь в новейшее время Авогадро, сосчитав атомы в некотором ящике, обнаружил, что их число конечно. В нашем веке Эйнштейн отверг введённую Ньютоном бесконечную скорость, а Планк лишил нас континуума энергии. Позднее Гейзенберг напомнил нам о пределах точности измерения сопряжённых величин. И уже совсем недавно теория сложности алгоритмов деликатно уведомила нас о том, что ни одну переменную невозможно измерить точно: с позиций физика числовой континуум — не более чем фикция.