Джон Конуэй, Майкл Гай
Разрешены символы

и

, обычные обозначения для корней

и

, степени, факториалы и десятичные обозначения

и

. Само число

, логарифмические и тригонометрические функции можно не использовать. Факториалы используются только для натуральных чисел, иначе

. Мы также не разрешаем использовать таких монстров, как

.
Например,

очень хорошее приближение

, и ясно, что его можно модифицировать так, чтобы оно было настолько точным, насколько мы этого хотим. Более того, его можно улучшить так, чтобы использовались только три четверки, поскольку

при

.
Мы можем вывести похожие “точные’’ формулы для различных чисел, нам интересных. Так,

, так что можно получить последовательность приближений

и

(например,

или

). В нашем лучшем результате такого вида для

используется семь четверок, и он выведен из формулы

.
Также можно записать

с помощью семи четверок, но мы еще не можем найти формулу такого вида для константы Эйлера

.
Сейчас мы покажем, что все это не является необходимым. Действительно, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Любое вещественное число может быть сколь угодно точно приближено, используя четыре

-ки и обычные действия.
Доказательство. Из формулы

следует, что для достаточно больших

,
поскольку предел этого выражения при

равен

и

. Пусть теперь

натуральное число, и

,

и

положительны, так что мы можем записать выражение, приведенное выше, как

где индексы у корня обозначают количество повторений квадратного корня. Извлекая квадратный корень

раз, получаем

.
Теперь мы можем взять

в виде

, так что будут выполняться все указанные выше условия, и выражение между знаками меньше будет содержать только четыре

-ки. Так как числа

для целых

и натуральных

плотны в множестве положительных вещественных чисел, то теорема доказана. Для отрицательных чисел нужно просто добавить знак “минус’’.
Теорема 2. Если разрешить использование знака целой части, то любое целое число представимо с помощью четырех четверок, а любое вещественное число — с помощью пяти.
Доказательство. Первая часть теоремы очевидна, а вторая становится следствием первой, если заметить, что любое рациональное число

равно

для подходящих целых значений

и

.
Теоремы 1 и 2 могут быть доказаны для любых натуральных чисел, не только для четверок. Есть единственное ограничение, что единицами могут быть не более трех из этих чисел.
Остаются вопросы:
1. Существует ли “точная’’ формула для

с менее, чем семью четверками?
2. Существует ли какая-либо точная формула для

?
3. Являются ли числа

плотными на множестве

?