Контрольная работа по Математике 3 (стр. 2 из 2)
2. Найти локальные экстремумы функции 
.
Решение.
Сначала найдем частные производные
Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.
То есть мы получили две критические точки
. Далее проведем исследование этих точек.Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка
Для точки
: 
.Следовательно, точка
не является точкой экстремума.Для точки
: 
.Следовательно, точка
не является точкой экстремума.Вывод – локальных экстремумов у функции 
нет.
3. Определить экстремумы функции 
, если 
.
Решение.
Сначала запишем функцию Лагранжа
И исследуем ее
То есть мы получили две критические точки:
.В силу условия
нам подходит только точка 
.Поэтому будем исследовать эту точку
Вычислим частные производные второго порядка:
Отсюда получаем, что
Теперь продифференцируем уравнение связи
Для точки
получаем 
.Следовательно,
То есть мы получили положительно определенную квадратичную форму.
Следовательно,
является точкой условного локального минимума. 
«Интегральное исчисление функции одного переменного»
1–3. Найти неопределенный интеграл
1. 
.
Решение.
2. 
.
Решение.
3. 
.
Решение.
4. Вычислить 
.
Решение.
5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми
.
Решение.
.