Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 18 из 49)

= −max m l, ^{( )1} + min q l, ^{( )1} ,

q^∈{G t( _{0 0},x T, )}

k

= −max m l, ^{( )2} + min q l, ^{( )2} .

q^∈{G t( _{0 0},x T, )}

k

Сложим эти равенства почленно

2ε⁰ = −max m l, ^{( )1} + min q l, ^{( )1} − max m l, + min q l, ^{( )2} ≤ m M∈q^∈{G t( _{0 0},x T, )^}_k m M∈q^∈{G t( _{0 0},x T, )}

≤ −max m l, ( )1 +l( )2 + min q l, ^{( )1} +l^{( )2} (3)

m M∈q∈{G t( _{0 0 k}

Из неравенства (3) следует, что _l⁽¹⁾ ≠ −_l⁽²⁾ , а из условия _l⁽¹⁾ ≠ _l⁽²⁾ следует, что

l^{( )1} +l^{( )2} < 2. Полагаем

(1) (2)

^∗ l +l

l = ( )1 ( )2 ∈S(0,1). l +l

Тогда из (3) выводим

2ε0 0

ε <≤ −max m, l( )1 +l( )2 m M∈

+ min=

q∈{G t( _{0 0},x T, )^}_k

−maxm M∈ m l, ∗ + q∈{G tmin( 0 0,x T, )}k q l, ∗ ≤ l Smax∈ (0,1) ⎡⎢⎣−maxm M∈ m l, + q∈{G tmin( 0 0,x T, )}k q l, ⎤⎦⎥ =ε0 .

Получили противоречие, которое и доказывает единственность максими-

зирующего вектора l⁰ ∈S(0,1).

Геометрическая интерпретация полученного результата (см. рис. 7) состоит в том, что вектор l⁰ является опорным к множеству M , а вектор −l⁰ -

опорным к множеству {G t( ₀,x₀ )}_k .

Используя формулу Коши, придадим равенству (2) другую форму

ε⁰ =

⎡T T ^⎫⎪⎤⎥ =

= max ⎢−max m l, +X T t[ , ₀ ]x₀ + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( ) ( )u d + ∫ X t[ ,τ τ τ]C( )d ⎬⎥

l=1 ⎢ m M∈t0 t0 ⎪⎭k⎦

⎣

⎡T T

= max ⎢−max m l, +X T t[ , ₀ ]x₀ + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( ) ( )u d + ∫ X t[ ,τ τ τ]C( )d , l^∗ ⎥ =

l=1 m M∈

⎢⎣t0 t0

⎡T

= max1 ⎢−max m l, + X T t[ , ₀ ]x l₀, ^∗ + ∫ X T[ ,τ]B( ) ( )τ τu , l^∗ dτ+ l= m M∈

⎢⎣ t₀

⎡

= max ⎢−max m l,

l=1 m M∈ u P∈

⎢⎣

T

+∫C( )τ , X^Тр[T,τ τ]l^∗d . (4)

t₀

⎛ l ⎞

⎜ ⎟

Здесь обозначено l^∗ = ^⎜ 0 ^⎟∈Rⁿ .

⎜ ⎟

⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠

Теорема 5. Пусть ε⁰ > 0 и U ⁰ (⋅ ∈Π) [t T₀, ] - оптимальная программная стратегия. Тогда

B( )t U ⁰ ( )t , X^Тр[T t l, ] ^0∗ = min B t u( ) , X^Тр[T t l, ] ^0∗ (5)

u P∈

⎛l⁰ ⎞

⎜ ⎟

при почти всех t ∈[t T₀, ], где l^0∗ ₌ ^{⎜ 0 ⎟}∈Rⁿ .

⎜ ⎟

⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠

Доказательство. Допустим, что условие (5) нарушается. Тогда существует множество T ∈[t T₀, ] ненулевой меры, на котором выполняется неравенство

B(t U) ⁰ ( )t , X^Тр[T t l, ] ^0∗> minB t u( ) , X^Тр[T t l, ] ^0∗, t∈T .

u P∈

Из последнего соотношения вытекает, что

T T

∫B( )τ U ⁰ ( )τ , X^Тр[T,τ τ]l^0∗d > ∫minu P∈B( ) ( )τ τu , X^Тр[T,τ τ]l^0∗d . (6)

t0 t0

Подставим вектор l⁰ ∈S(0,1) в правую часть равенства (4). Имеем

T

⁰ = −max m l, ⁰ + x₀, X^Тр[T t l, ₀ ] ^0∗+ ∫minB( ) ( )τ τu , X^Тр[T,τ τ]l^0∗d +

t₀ u P∈

T

+∫C( )τ , X^Тр[t,τ τ]l^0∗d .

t₀

С учетом неравенства (6) выводим

ε⁰ = I U⎡_⎣ ⁰ ( )⋅ ⎤_⎦ = ^ρ({x⁰ ( )T }k ,M ) = maxl=1 _⎣⎢^⎡−maxm M∈ m l, + {x⁰ ( )T }k ,l_⎦⎥^⎤ = l1 ⎡⎢−max m l, X T t[ , ₀ ]x₀ + tT^∫0 X T[ ,τ τ τ τ]B( )U ⁰ ( )d + tT^∫0 X t[ ,τ τ τ]C( )d _⎪⎬⎫k⎥⎤⎥ ≥

= max

= _⎢⎣_⎪⎭⎦

T ⁰ T ^⎫⎪

≥ −max m l, X T t[ , ₀ ]x₀ + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( )U ( )d + ∫ X t[ ,τ τ τ]C( )d ⎬ , l=

t0 t0 ⎪⎭k

T T

= −max m l, X T t[ , ₀ ]x₀ + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( )U ⁰ ( )d + ∫ X t[ ,τ τ τ]C( )d , l^0∗

t0 t0