вычисленная вдоль оптимальной пары (x0 (⋅),ψ0 (⋅)), остается постоянной на всем промежутке времени [t T0, ].
Доказательство. Вычисляем
dt dt dt
= −A ψ ( )t , Ax ( )t + A ψ ( )t , x ( )t + ψ ( )t , BU
dt
dt
dt
dt
В силу теоремы 2 справедливо равенство
Тогда из (12) следует, что
dt
Теорема доказана.
2.3 Частные случаи геометрических ограничений на вектор управляющих параметров. Иногда функция (1.8) может быть выписана в явном виде. Рассмотрим два таких частных случая.
Случай 1. Пусть
⎧ r r ( )ui 2 ⎫⎪
⎪
Задача математического программирования по определению функции Uˆ состоит в максимизации линейной формы (1,7) при квадратичных ограничениях
2
i=1 ( )ai 2
Решение этой задачи приводится в примере 1.4.3 книги [22]. Ее решением при ус-
⎛Uˆ 1 (t,ψ)⎞
⎜ ⎟
ловии, что ψ≠ 0, служит вектор U tˆ ( ,ψ) = ⎜ ⎟∈P , для которого
⎜⎜⎝Uˆ r (t,ψ)⎟⎟⎠
2 ⎛ n ⎞ ai ⎜∑bki ( )t ψk ⎟
Uˆ i (t,ψ) = ⎝ k=1 ⎠ , i =1, ,r . (1)
2
n ⎛ n ⎞ 2
s=1 ⎝ k=1 ⎠
В частности, если a1 = = ar = a, то формула (1) принимает вид
⎛ n ⎞
⎜∑bki ( )t ψk ⎟
Uˆ i (t,ψ) = a ⎝ k=1 ⎠ , i =1, ,r .
2 n ⎛ n ⎞
s=1 ⎝ k=1 ⎠
Пример 2*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
x1 = x2 +u x1, 2 = −x1 +u2, t∈[0,π];
⎛u1 ⎞ ⎧ ⎛u1 ⎞ 22 2 ⎫
u = ⎜ ⎟, u∈P = ⎨u = ⎜ ⎟∈R
⎝u2 ⎠ ⎩ ⎝u2 ⎠ ⎭
I U⎡⎣
Здесь
⎛ 0 A = ⎜ ⎝−1 | 1⎞ ⎟, 0⎠ | ⎛1 B = ⎜ ⎝0 | 0⎞ ⎟, 1⎠ | Φ( )x = 3x12 + 2x22 |
Сформулируем задачу математического программирования (1.7)
Функция (1.8) здесь имеет вид
⎛ ψ1 ⎞
U tˆ ( ,ψ) = ⎜⎜⎟⎟,ψ≠ 0, (2)
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
система дифференциальных уравнений (1.10) и граничные условия (1.11) записываются так:
ψ1
x1 = x2 +,
x2 = −x1 +, (3)
ψ12 +ψ22
ψ1 = −ψ2, ψ2 =ψ1,
x1 ( )0 = −3, x2 ( )0 = 2,ψ1 (π) = −6x1 (π ψ π), 2 ( ) = −4x2 ( )π . (4)
Общее решение сопряженной системы находится независимо от остальных уравнений системы
ψ1 (t c c, 1, 2 ) = c1 cost +c2 sin ,t ψ2 (t c c, 1, 2 ) = c2 cost −c1 sint. (5)
Преобразуем первые два уравнения в (3) с учетом (5)
и проинтегрируем полученную систему
tc1 cost tc2 sint
x2 (t c c c c, 1, 2, 3, 4+c4 cost − −c3 sint . (6)
Граничные условия (4) принимают вид
⎛ πc1 ⎞ ⎛ πc2 ⎞
c3 = −3, c4 = 2, −c1 = 6⎜+ c3 ⎟, −c2 = 4⎜+ c4 ⎟ . (7)
Решением нелинейной системы уравнений (7) будут числа
c1∗ = 2.0562, c2∗ = −1.2967, c3∗ = −3, c4∗ = 2.. (8)
Подставляя найденные константы в (5) определяем вектр-функцию ψ0 (⋅), а из
(2) - оптимальное программное управление
⎛