Ясно, что

- гомоморфизм полурешетки
L(

) в полурешетку
L(

). Покажем, что

- изоморфизм. Для этого достаточно проверить, что если

для

(

). Пусть

и

(

)=

. Из последнего следует, что

. Так как
L*(

) – дистрибутивная полурешетка, то существуют
c и
d такие, что

,

и

=

. Так как

, то

) =

; а так как

, то

) =

\

. Следовательно,

Ø,

=
o и

=

. Получаем противоречие. Итак,

- изоморфизм. Пусть
b
L(

),
c
L(

) и
c
; тогда существуют

такие, что

и

. Так как

, а

, то

\

. Но

и

\

. Следовательно,

\

и
L(

\

). Но так как
а – минимальный элемент
L(

\

) и

, то

. Покажем теперь, что
L(

). Для этого достаточно показать, что

. Включение

уже показано; из того, что

\

, а

, следует, что

\

\

) =

. Следовательно,

=

,
L(

). Из

следует, что

и
L(

). Таким образом,
L(

)) – идеал
L(

).□
Для того чтобы применять предложение 5 для решения вопроса о вложении L(

) в
L(

), нужно выяснить вопрос о существовании минимальных элементов в полурешетках
L(
S).
Предложение 6. Если S конечно, то L( S) имеет наименьший элемент и является дистрибутивной полурешеткой.
Пусть

и

. Определим нумерацию

этого множества так:

, если
m <
n, и

, если

. Пусть

– произвольная нумерация
S и

– некоторые

– номера элементов

соответственно. Определяя функцию
f так, что
f(
i)

для
i <
n и
f(
i)

для

, получаем

и
f
Ơ. Следовательно,

и [

] – наименьший элемент
L(
S).□
Следствие. Если S – конечное множество, содержащее, по крайней мере, два элемента, то полурешетка L( S) континуальна.□
Предложение 6 показывает, что «естественное» вложение L(

) в
L(

) (для

) существует, когда

\

конечно.