Теория нумераций (стр. 17 из 22)

Предложение 4. В категории

для любых двух объектов существует их прямое произведение.

Если

О или О, то в качестве (с единственными морфизмами в ) можно взять О. Полагаем ; – проекция на первый сомножитель, – проекция на второй сомножитель. определяется так: , или . Легко проверяется, что – нумерация , а и – морфизмы ( , – в соответственно. Проверим, что ( ) есть прямое произведение . Пусть = ( , ) – произвольное нумерованное множество и , – два морфизма в соответственно. Определим отображение так: для . Для этого отображения имеем . Очевидно, что – единственное отображение , для которого справедливы указанные равенства. Остается заметить, что – морфизм . Пусть таковы, что . Тогда для , где , имеем . Итак, ( ) – прямое произведение □

Лемма 1. Пусть

– произвольные нумерованные множества, отличные от О, ( ) – прямая сумма , ( ) – прямое произведение; тогда существуют такие морфизмы , , , , что , , , .

Пусть

– произвольно выбранные элементы. Определим так: для всех ; определим так: для всех . Очевидно, что и – морфизмы. Положим далее и . Равенства и легко проверяются. Определим морфизмы и так:

тогда, очевидно, имеем

и .□

Наряду с прямым произведением и прямой суммой в категории

существует и расслоенная сумма.

Перейдем к определению этого понятия. Коммутативная диаграмма

называется универсальным квадратом, если для любого объекта

и любой пары морфизмов , такой, что , существует единственный морфизм такой, что , . Если приведенная выше диаграмма является универсальным квадратом, то ( ) называется расслоенной суммой над .

Предложение 5. В категории

каждая пара морфизмов , вкладывается в подходящий универсальный квадрат.