Теория нумераций (стр. 16 из 22)

Определим отображение

так: для , для . Тогда, очевидно, , и если отображение таково, что , то . Отсюда следует единственность такого . Остается заметить, что – морфизм. Пусть таковы, что . Тогда для , где , имеем , следовательно, – морфизм. Таким образом, ( ) – прямая сумма. Если , то найдем множество и отображение такие, что , – взаимно однозначное соответствие между . Пусть ( , , где . По доказанному выше, для и существует прямая сумма ( ). Тогда ( ) есть, как нетрудно проверить, прямая сумма .□

Прямым произведением двух объектов

категории называется объект и два морфизма и такие, что для любых морфизмов , где – произвольный объект категории, существует единственный морфизм такой, что и . Обозначать прямое произведение будем так: ( ) или ( ). Тот единственный морфизм , существование которого (для данных и ) утверждается в определении, будем обозначать .