Теория нумераций (стр. 15 из 22)

коммутативна.

Фактор – объектом

назовем класс Ф всех пар ( , , эквивалентных некоторой паре вида ( , где – факторизация. Иногда будем использовать менее точную терминологию, называя фактор – объектом пару ( , где – факторизация, или даже просто нумерованное множество . Заметим, что в каждом классе пар Ф, являющихся фактор – объектом, существует канонический представитель, а именно, если ( , то и ( , где – факторизация из канонического представления . Пара такого вида ( в каждом фактор – объекте существует и единственна. Отсюда следует, что у каждого нумерованного множества существует не более континуума различных фактор – объектов. Обозначим множество всех фактор – объектов через ; если в этом множестве ввести отношение частичного порядка, полагая для для ( , ( существует морфизм такой, что диаграмма

коммутативна, то <

изоморфно полной решетке < Э ( . Это легко следует из рассмотрения канонических представителей в каждом фактор – объекте.

Заметим, что (используя неточную терминологию) любое нумерованное множество

О есть фактор – объект . Действительно, если = ( , ), то, как легко проверить, морфизм есть факторизация.

Замечание. Данное здесь определение фактор – объекта является не совсем обычным, так как в теории категорий фактор – объектом (в неточной терминологии) называют всякий эпиморфный образ. Здесь же мы ограничились образами факторизаций.

Подобъектом

назовем всякую пару ( ), где – мономорфизм. (Более точное определение: подобъектом назовем класс Ф всех таких пар ( ), что ( ) и ( ) эквивалентны в ; последнее означает существование эквивалентности такой, что .) Если – мономорфизм и эпиморфизм одновременно, то ( ) назовем плотным подобъектом .

Каноническое представление морфизма показывает, что всякий эпиоморфный образ

имеет плотный подобъект, который есть фактор – объект .

Отметим еще, что морфизм является эквивалентностью в

тогда и только тогда, когда он является факторизацией и мономорфизмом.

Обратимся теперь к вопросам полноты категории

, т.е. к вопросам замкнутости относительно различных категорных конструкций.

Прямой суммой двух объектов

и категории называется объект и два морфизма и такие, что для любых морфизмов , где – произвольный объект, существует единственный морфизм такой, что и .

Обозначать прямую сумму будем так: (

) или ( ). Тот единственный морфизм , существование которого (для данных и ) утверждается в определении, будем обозначать .

Предложение 3. В категории

для любых двух объектов существует их прямая сумма.

Если

О, то в качестве (с естественными морфизмами из ) можно взять . Аналогично в случае О. Пусть = ( , О и = ( , О. рассмотрим сначала случай . Полагаем и так: ; . Тогда ( , – нумерованное множество, а тождественные вложения и являются морфизмами в . Покажем, что ( ) есть прямая сумма . Пусть = ( , ) – произвольное нумерованное множество и , – два морфизма в .