Теория нумераций (стр. 14 из 22)
(без
) коммутативна; 
– каноническое представление, 
– факторизация, 
– мономорфизм. Тогда существует морфизм 
такой, что 
– эквивалентность категории 
и диаграмма, приведенная выше, коммутативна.Из равенства
и мономорфности следует, что 
, тогда существование морфизма 
и морфизма 
таких, что диаграммы 
коммутативны, вытекает из того, что
и – факторизации. Из единственности таких морфизмов вытекает, что 
, 
. Таким образом, – эквивалентность категории 
. Для проверки коммутативности большой диаграммы достаточно показать только, что 
. Обозначая 
, получим 
. Но так как – факторизация, то может существовать только один морфизм 
такой, что 
; поэтому 
.Предложение 2 и показывает нужную «единственность» канонического представления. Впредь под каноническим представлением морфизма
будем понимать всякое представление его в виде 
, где 
– факторизация, а 
– мономорфизм.Для того чтобы понять, что факторизация может быть определена в чисто теоретико – категорных терминах (для этого достаточно такое определение для
), определим объект 1 категории 
как множество {0}, снабженное единственно возможной нумерацией. Укажем следующие простые свойства:1. Для любого нумерованного множества
= ( 
, 
) существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством и множеством Mor ( 
).Это соответствие задается отображением
множества Mor ( ) в .2. Если
, а 
Mor ( 
, то 
.Легко проверяется.
3. Если
, 
, то 
.Если
и 
– нумерованные множества и существует эквивалентность 
, то и 
назовем эквивалентными и будем обозначать это так 
. Отметим, например, что все одноэлементные нумерованные множества эквивалентны 
.Если
, 
– два морфизма, то назовем ( 
и ( 
) эквивалентными над 
(менее точно назовем и 
эквивалентными над 
), если существует эквивалентность 
такая, что диаграмма 