Следствие. Категория

эквивалентна малой категории, т.е. категории, семейство объектов которой образует множество.
Простая проверка показывает, что для того чтобы морфизм

был мономорфизмом (эпиморфизмом) категории

, необходимо и достаточно, чтобы отображение

, задающее морфизм, было одно – однозначным (отображением на

). Для всякого морфизма
o 
через

обозначим отношение эквивалентности на

, определенное так:

. Вместо обозначения

будем использовать в этом случае обозначение

, а естественный морфизм из

в

будем обозначать

. Определим морфизм

такой, чтобы диаграмма

была коммуникативной. Пусть

, тогда положим

. Проверим корректность определения

; пусть

, тогда

. Если

такова, что

, то

, так что

– морфизм. Соотношение

очевидно. Представление всякого морфизма

в виде

, где

однозначно определены указанным выше способом, назовем
каноническим представлением морфизма 
. Отметим следующие свойства канонического представления:

– эпиморфизм, а

– мономорфизм. Однако этими двумя свойствами представления оно не определяется однозначно (с точностью до разумной теоретико – категорной эквивалентности). Для того чтобы теоретико – категорно охарактеризовать каноническое представление, введем понятие
факторизации. Морфизм

факторизацией, если для любого морфизма

такого, что

, существует единственный морфизм

такой, что диаграмма

Лемма. Если диаграмма коммутативна.

коммутативна и

и

или

и

– факторизации, то все эти морфизмы – факторизации.□
Предложение 2. Пусть следующая диаграмма: