Теория нумераций (стр. 11 из 22)

Наоборот, если

– частичный порядок, то пусть – последовательность всех вполне перечислимых подмножеств (число их не более чем счетно); пусть , тогда без труда проверяется, что последовательность < > рекурсивно перечислимых множеств удовлетворяет определениям 1) и 2) отделимой нумерации.

Введем на

топологию , задав ее базисом, состоящим из всех вполне перечислимых подмножеств (легко проверить, что пересечение двух вполне перечислимых подмножеств также вполне перечислимо).

Предложение 10. Топология

является отделимой (т.е. ( , ) – – пространство) тогда и только тогда, когда нумерация отделима.

Нумерованное множество

= ( , ) назовем отделимым, если выполнено одно из следующих трех эквивалентных условий:

1) нумерация

отделима;

2) предпорядок

является частичным порядком;

3) топология

отделима.

Категория нумерованных множеств и ее свойства

В предыдущем параграфе изучались нумерации подмножеств некоторого множества и отношение сводимости между нумерациями. Обратимся теперь к «взаимодействию» произвольных нумерованных множеств. Наиболее естественным путем для такого изучения является соответствующей категории – категории

нумерованных множеств.

Перейдем к точным определениям. Объектами категории

являются все нумерованные множества, включая «пустое» нумерованное множество О. Если – произвольное нумерованное множество, то существует и притом единственный морфизмo из О в . Если = ( , ) и = ( , ) – произвольные не пустые нумерованные множества, то морфизмом из в назовем всякое отображение , для которого существует функция такая, что , иными словами, если диаграмма

f

NN

коммутативна. То, что

– морфизм из в , будет обозначаться так: . Множество всех морфизмов из в обозначим через Mor ( ). Композиция морфизмов определяется естественным образом. Объект О является нулевым объектом категории .

Отметим следующие простые свойства морфизмов.

1. Если

= ( , ) и = ( , ), – – вполне перечислимое множество, а – морфизм из в , то – – вполне перечислимое подмножество .