Таблица производных Дифференцирование сложных функций (стр. 3 из 3)

Рис. 3.1

2. Эллипс.

Известно, что уравнение эллипса –

. Отсюда . Возьмем две точки и на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу (рис. 3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что . Подставим это выражение в : . Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид

Рис. 3.2

3. Циклоида.

Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом

. Зафиксируем точку Oее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C (рис. 3.3). Найдем ее координаты:

Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:

Рис. 3.3

4. Астроида.

Пусть внутри окружности радиуса

без скольжения катится другая окружность радиуса . Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид:

Рис. 3.4

Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.

Пусть функция

от задана параметрически: где . Пусть на этом отрезке обе функции имеют производные и при этом . Найдем .

Составим отношение

. Тогда

.

Следовательно,

. Это и есть правило дифференцирования параметрически заданных функций.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284с.

2. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.

3. Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509с.

4. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.