Непрерывная, но не дифференцируемая функции (стр. 3 из 5)

Здесь будет рассмотрен более простой пример ван-дер-Вардена, построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые у= cosωχ заменены колеблющимися ломаными.

Итак, обозначим через

абсолютную величину разности между числом χ и ближайшим к нему целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида , где s -целое; она непрерывна и имеет период 1. Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис.1; отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент ±1.

Положим, затем, для к=1,2,3,…:

Эта функция будет линейной в промежутках вида

; она также непрерывна и имеет период . Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис.1(б), например, изображен график функции . Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны ±1.

Определим теперь, для всех вещественных значений x , функцию f ( x ) равенством

Так как, очевидно, 0≤

( k =0,1,2,…), так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией , то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция всюду непрерывна.

Остановимся на любом значении

. Вычисляя его с точностью до (где n =0,1,2,…), по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида:

≤ , где -целое.

( n =0,1,2,…).

Очевидно, что замкнутые промежутки оказываются вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка

, что расстояние ее от точки равно половине длины промежутка.

= ;

Ясно, что с возрастанием n варианта

.

Составим теперь отношение приращений

=

Но при k > n , число

есть целое кратное периодам функции , соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть опущены. Если же k ≤ n , то функция , линейная в промежутке , будет линейной и в содержащемся на нем промежутке , причем

(k=0,1,…,n).

Таким образом, имеем окончательно

иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном n и нечетному числу при четном n . Отсюда ясно, что при отношение приращений ни к какому конечному пределу стремится не может, так что наша функция при конечной производной не имеет.

Решение упражнений

Упражнение 1 ([2], №909)

Функция

определена следующим образом: . Исследовать непрерывность и выяснить существование

Решение

На

непрерывна как многочлен;

На (0;1)

непрерывна как многочлен;

На (1;2)

непрерывна как многочлен;

На (2;

непрерывна как элементарная функция.

- точки подозрительные на разрыв

Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке

.

Так как левый предел равен правому пределу и равен значению функции в точке

функция непрерывна в точке

Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке

.

1 способ. В точке

не существует конечной производной функции Действительно, предположим противное. Пусть в точке существует конечная производная функции непрерывна в точке (по теореме 1: Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна.

2 способ. Найдем односторонние пределы функции

в точке x =0.