Непрерывная, но не дифференцируемая функции (стр. 2 из 5)

Следовательно,

( =-1; ( =1 и ( ( , то есть в точке функция производной не имеет.

Различные определения непрерывности функции в точке.

Определение 1 (основное) Функция

называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в этой точке.

Определение 2 (на языке

Функция называется непрерывной в точке , если ε, δ>0, такое что .

Определение 3 (по Гейне, на языке последовательности) Функция

называется непрерывной в точке , если для любой последовательности сходящейся к точке соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Определение 4 (на языке приращений) Функция

называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Понятие дифференцируемой функции

Определение 1 Функция

, заданная на множестве ( называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить как (*), где A - const , независящая от , - бесконечно малая при

Определение 2 Функция, дифференцируемая в любой точке множества, называется дифференцируемой на множестве.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью

Теорема. Если функция дифференцируема в точке

, то она непрерывна в точке .

Доказательство.

Пусть задана функция

Функция дифференцируема в точке , где

При

Обратная теорема. Если функция непрерывна, то она дифференцируема.

Обратная теорема неверна.

в - не дифференцируема, хотя непрерывна.

Классификация точек разрыва

Определение Функция не являющаяся непрерывной в точке

является разрывной в точке , а саму точку называют точкой разрыва.

Существуют две классификации точек разрыва: I и II рода.

Определение Точка

называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы неравные друг другу.

Определение Точка

называется точкой устранимого разр ыва, если , но они не равны значению функции в точке .

Определение Точка

называется точкой разрыва II рода, если в этой точке односторонние пределы равны или один из односторонних пределов бесконечен или в точке не существует предела.

·

– бесконечные;

·

– бесконечный или – бесконечный;

·

Признаки равномерной сходимости рядов

Признак Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда

(1) удовлетворяют в области неравенствам где - член некоторого сходящегося числового ряда то ряд (1) сходится в равнмерно.

Теорема 1 Пусть функции

определены в промежутке и все непрерывны в некоторой точке этого промежутка. Если ряд(1) в промежутке сходится равномерно, то и сумма ряда в точке также будет непрерывна.

Пример непрерывной функции без производной

Первый пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:

,

где 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+

π). Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией , следовательно (признаки равномерной сходимости рядов), сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от x . Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной.