Квадратичные формы 3 (стр. 3 из 8)

1.3 ЗАКОН ИНЕРЦИИ

Предположим, что рассматриваются произвольные комплексные квадратичные формы и допускается применение невырожденных линейных преобразований также с произвольными комплексными коэффициентами. Всякая квадратичная форма

от неизвестных, имеющая ранг , приводится к каноническому виду: , где все коэффициенты отличны от нуля. Пользуясь тем, что из всякого комплексного числа извлекается квадратный корень, выполняются следующее невырожденное линейное преобразование: при ; при . Оно приводит форм к виду:

, (3.1)

называемому нормальным; то есть сумма квадратов

неизвестных с коэффициентами, равными единице.

Нормальный вид зависит лишь от ранга

формы , то есть все квадратичные формы ранга приводятся к одному и тому же нормальному виду (3.1). Если формы и от неизвестных имеют одинаковый ранг , то можно перевести в (3.1), а затем (3.1) в , то есть существует невырожденное линейное преобразование, переводящее в . Так как с другой стороны, никакое невырожденное линейное преобразование не изменяет ранга формы, то получается следующий результат.

Теорема. Две комплексные квадратичные формы от

неизвестных тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными линейными преобразованиями с комплексными коэффициентами, если эти формы имеют один и тот же ранг.

Доказательство. Из этой теоремы вытекает, что каноническим видом комплексной квадратичной формы ранга

может служить всякая сумма квадратов неизвестных с любыми отличными от нуля комплексными коэффициентами.

Всякую действительную квадратичную форму

можно привести невырожденным линейным преобразованием с действительными коэффициентами к нормальному виду. Форма ранга от неизвестных приводится к каноническому виду, который можно записать следующим образом: , , где все числа отличны от нуля и положительны. Тогда невырожденное линейное преобразование с действительными коэффициентами при ; при , приводит к нормальному виду, . Общее число входящих сюда квадратов будет равно рангу формы.

Действительная квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями, однако с точностью до нумерации неизвестных она приводится лишь к одному нормальному виду. Это показывает следующая важная теорема, называемая законом инерции действительных квадратичных форм.

Теорема. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому данная квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависят от выбора этого преобразования.

Доказательство. Пусть квадратичная форма

ранга от неизвестных двумя способами приведена к нормальному виду:

. (3.2)

Так как переход от неизвестных

к неизвестным был невырожденным линейным преобразованием, то, обратно, вторые неизвестные также будут линейно выражаться через первые отличными от нуля определителями:

. (3.3)

Аналогично,

, (3.4)

причем определитель из коэффициентов снова отличен от нуля. Коэффициенты же как в (3.3), так и в (3.4) действительные числа.

Можно предположить, что

, и написать систему равенств

. (3.5)

Если левые части этих равенств будут заменены их выражениями из (3.3), и (3.4), получится система

линейных однородных уравнений с неизвестными . Число уравнений в этой системе равно меньше числа неизвестных, поэтому система обладает ненулевым действительным решением .

Необходимо заменить в равенстве (3.2) все

и все их выражениями (3.3) и (3.4), а затем подставить вместо неизвестных числа . Если через и будут обозначены значения неизвестных и , получающиеся после такой подстановке, то (3.2) превращается в равенство

. (3.6)

Так как все коэффициенты в (3.3) и (3.4) действительные, то все квадраты, входящие в равенство (3.6),положительны, а поэтому (3.6) влечет за собой равенство всех этих квадратов; отсюда следует равенства

. (3.7)

С другой стороны, по самому выбору чисел

. (3.8)

Таким образом, система

линейных однородных уравнений , с неизвестными обладает, (3.7) и (3.8), ненулевым решением , то есть определитель этой системы должен быть равен нулю. Это противоречит, однако, тому, что преобразование (3.4) предполагалась невырожденным. Такое же противоречие будет, если . Отсюда следует равенство , доказывающее теорему.