Квадратичные формы 3 (стр. 2 из 8)

, при , (21)

получим

, (2.2)

где

будет теперь квадратичной формой от неизвестных . Выражение (2.2) есть искомое выражение для формы , так как оно получено из (1.1) невырожденным линейным преобразованием, а именно преобразованием, обратным линейному преобразованию (2.1), которое имеет своим определителем и поэтому не вырождено.

Если же имеют место равенства

, то предварительно нужно совершить вспомогательное линейное преобразование, приводящее к появлению форме квадратов неизвестных. Так как среди коэффициентов в записи (1.1) этой формы должны быть отличные от нуля,- иначе нечего было бы доказывать,- то пусть, например, , то есть является суммой члена и членов, в каждый из которых входит хотя бы одно из неизвестных .

Представим линейное преобразование

, при . (2.3)

Оно будет невырожденным, так как имеет определитель

.

В результате этого преобразования член

формы примет вид , то есть форме появится, с отличными от нуля коэффициентами, квадраты сразу двух неизвестных, причем они не могут сократится ни с одним из остальных членов, так как в каждый из этих последних входят хотя бы одно из неизвестных .

Квадратичная форма

зависит от меньшего, чем , числа неизвестных и поэтому, по предположению индукции, некоторым невырожденным преобразованием неизвестных приводится к каноническому виду. Это преобразование, рассматривается как преобразование всех неизвестных, при котором остается без изменения, приводит, следовательно, (2.2) к каноническому виду. Таким образом, квадратичная форма двумя или тремя невырожденными линейными преобразованиями, которые можно заменить одним невырожденным преобразованием - их произведением, приводится к виду суммы квадратов неизвестных некоторыми коэффициентами. Число этих квадратов равно рангу формы . Если, сверх того, квадратичная форма действительная, то коэффициенты, как в каноническом виде формы , так и в линейном преобразовании, приводящем к этому виду, будут действительными; в самом деле, и линейное преобразование, обратное (2.1), и линейное преобразование (2.3) имеют действительные коэффициенты [3].

Для того чтобы представить квадратичную форму в каноническом виде необходимо найти ее характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования.

Пусть

заданное мерное линейное пространство. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования . Само число называется характеристическим числом линейного преобразования , соответствующим вектору .

Квадратичная форма имеет вид:

так как .Если линейное преобразование в базисе имеет матрицу: , то характеристическими числами линейного преобразования служат действительные корни и уравнение второй степени, которое можно записать в виде:

.

Для нахождения собственных значений

и , решается полученное уравнение: , где и могут быть равными[1].

Если числа

и одного знака, то квадратичная форма принадлежит к эллиптическому типу; если и разных знаков, то гиперболическому типу; если же одно из чисел или равно нулю, то параболическому типу[4].

Для получения собственных векторов получаются две системы линейных уравнений:

,

где

- координаты собственных векторов.

Затем можно найти координаты векторов нового базиса

и , для этого необходимо найти длины собственных векторов по формуле , следовательно ; , где - собственные векторы. Следовательно, получается уравнение второго порядка в каноническом виде: .

А также необходимо отметить следующие важные теоремы:

Теорема 1. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Теорема 2. Если матрица

линейного преобразования является симметрической, то все корни характеристического - действительные числа, где - тождественный оператор[1].