Исследование кривых и поверхностей второго порядка (стр. 2 из 3)

Пусть

Сгруппируем члены уравнения и дополним до полного квадрата:

Произведём перенос системы координат:

координаты нового центра O системы координат

т.е. мы правильно определили каноническое уравнение

Определим фокус

эллипс.

Расстояние между

найдём по:

В системе координат

Эксцентрический эллипс

Директрисы

Вывод

Исследовав общее уравнение кривой второго порядка и приведя его к каноническому виду, мы установили, что данная кривая — эллипс. Мы получили каноническое уравнение гиперболы при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей.

Исследование формы поверхности второго порядка

Теоретическая часть

Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

,

где по крайней мере один из коэффициентов

отличен от нуля.

Уравнение (3.1) называют общим уравнением поверхности второго порядка S, а систему координатOxyz называют общей системой координат.

Теорема: Для произвольной поверхности S, заданной общим уравнением существует такая декартова прямоугольная система координат

что в этой системе поверхность S имеет уравнение одного из следующих семнадцати канонических видов.

1)

— эллипсоид,

2)

— мнимый эллипсоид,

3)

— однополостный гиперболоид,

4)

— двуполостный гиперболоид,

5)

— конус,

6)

— мнимый конус (точка),

7)

— эллиптический параболоид,

8)

— гиперболический параболоид,

9)

— эллиптический цилиндр,

10)

— мнимый эллиптический цилиндр,

11)

— две мнимые пересекающиеся плоскости (ось

O'Z),

12)

— гиперболический цилиндр,

13)

— две пересекающиеся плоскости,

14)

— параболический цилиндр,

15)

— две параллельные плоскости,

16)

— две мнимые параллельные плоскости,

17)

— две совпадающие плоскости (плоскость XOZ).

В выше перечисленных уравнениях a, b, c, p— положительные параметры. Систему координат

называют канонической.

Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями

Если дано каноническое уравнение поверхности S, то представление о поверхности можно получить по форме линий пересечения ее плоскостями:

Z = h— параллельными координатной плоскости XO'Y,

X = h— параллельными координатной плоскости YO'Z,

Y = h— параллельными координатной плоскости XO'Z.

Практическая часть

Дано:

;

Это эллипсоид в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz, где оси OX, OY, OZ — оси симметрии.

1. Рассмотрим линии

плоскостями Z=h (h=const):

(1)

Плоскость Z=h параллельна плоскости Oxy.

Уравнения проекций

на Oxy имеют вид:

Если

, то , и тогда поделим обе части уравнения на , получим:

Это уравнение эллипсов с полуосями

, ; увеличивающиеся с уменьшением , центр эллипса (0;0;h)

При различных h имеем:

Если

, тогда и значит линии удовлетворяющих уравнению(1) нет.

2. Рассмотрим

полученные в сечениях эллипсоида плоскостями X=h:

(2)

Уравнение проекций

на YOZ.

Это уравнение эллипсов с полуосями

, ;

Если

, то a=3, b=2, и

Если

, тогда мы получаем семейство эллипсов:

, ;

, ;

Если

, тогда — это уравнение точки с координатами (h;0;0).