Интегралы Дифференциальные уравнения (стр. 2 из 6)
= 
.Экономический смысл интеграла. Если
– производительность труда в момент времени 
, то 
есть объем выпускаемой продукции за промежуток 
. Величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени , численно равна площади под графиком функции 
, описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке или .Достаточное условие существования интеграла. Теорема. Если
непрерывна на отрезке 
, то она интегрируема на этом отрезке.Свойства определенного интеграла.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть
,где
– некоторое число.2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть
.3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, то есть при любых
4. Если на отрезке
, где 
, 
, то и 
.Следствие. Пусть на отрезке
, где , 
, где 
и 
– некоторые числа. Тогда 
.Теорема о среднем. Если функция
непрерывна на отрезке , где , то найдется такое значение 
, что 
.Теорема. Пусть функция
непрерывна на отрезке и 
– любая первообразная для 
на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на на этом отрезке, то есть 
Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница.
Теорема. Пусть функция
имеет непрерывную производную на отрезке 
, 
и функция непрерывна в каждой точке 
вида 
, где 
.Тогда имеет место равенство
= 
.Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Теорема. Пусть функции
и 
имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда 
.Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Теорема. Пусть на отрезке
заданы непрерывные функции 
и 
такие, что 
. Тогда площадь 
фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле 
Пусть на отрезке
задана непрерывная знакопостоянная функция . Тогда объем 
тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями , 
и 
находится по формуле 
.Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.
Дифференциальное уравнение
го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид
.Решением дифференциального уравнение называется такая функция
, которая при подстановке ее в это уравнение обращает его тождество.Общим решением дифференциального уравнения
го порядка называется такое его решение 
,которое является функцией переменных
и 
произвольных независимых постоянных 
.Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных
.Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении
(1)функция
и ее частная производная 
непрерывны на открытом множестве 
координатной плоскости. Тогда