Применение комплексных чисел в элементарной геометрии (стр. 4 из 4)

Очевидно, что точка

лежит на прямой Симсона. Если составить четырехугольник

, где , то получим, что прямая Симсона вершины вписанного в окружность четырехугольника проходит через центр ZокружностиЭйлера этого четырехугольника.

Примеры задач

Решим некоторые задачи методом комплексных чисел.

Задача 1

В результате поворота на

вокруг точки отрезок перешёл в отрезок . Доказать, что медиана треугольника перпендикулярна прямой .

Решение:

Пусть координаты

равны соответственно . Тогда точки и будут иметь координаты , а середина отрезка - координату Находим:

число – чисто мнимое. На основании критерия перпендикулярности (отрезки

и перпендикулярны тогда и только тогда, когда число является чисто мнимым), прямые перпендикулярны.

Задача 2

Из основания высоты треугольника опущены перпендикуляры на две стороны, не соответственные этой высоте. Доказать, что расстояние между основаниями этих перпендикуляров не зависит от выбора высоты треугольника.

Решение:

Пусть дан треугольник

, причём описанная около него окружность имеет уравнение . Если - высота треугольника, то

Комплексные координаты оснований

перпендикуляров, опущенных из точки на соответственно, равны

Находим:

Так как

. Это выражение симметрично относительно , т.е. расстояние не зависит от выбора высоты треугольника.

Задача 3

На плоскости даны четыре окружности

такие, что окружности пересекаются в точках , окружности пересекаются в точках , окружности - в точках и окружности - в точках . Доказать, что если точки лежат на одной окружности или прямой, то и точки также лежат на одной окружности или прямой.

Решение:

Так как точки

лежат на одно окружности, то вещественным будет выражение

Аналогично для остальных точек составим вещественные выражения

Поэтому, вещественным будет и выражение

Следовательно, из вещественности двойного отношения

вытекает и вещественность двойного отношения .

Заключение

Известно, сколь широко используются комплексные числа в математике и её приложениях. Особенно часто применяется функции комплексного переменного, в частности, аналитические функции.

Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать и в более простых разделах математики – элементарной геометрии, тригонометрии, теории движений и подобий, аффинных и круговых преобразований, а также в электротехнике и в различных механических и физических задачах.

Названные выше разделы элементарной математики хорошо описываются с использованием комплексных чисел, однако в литературе

это отражено мало. На русском языке фактически отсутствуют руководства по элементарной геометрии и примыкающей к ней теории преобразований, в которых использовался бы алгебраический аппарат комплексных чисел.

В работе большое место занимает вывод формул для решения планиметрических задач с помощью комплексных чисел, а также рассмотрены основные свойства некоторых фигур планиметрии. Также приведенные в ней вычисления сопровождаются иллюстрациями, с помощью которых можно легко разобраться с рассмотренными формулами и полученными результатами. В конце работы разобраны решения трех задач с помощью комплексных чисел.

Данная работа может быть использована, как пособие для решения задач планиметрии с помощью приведенных здесь формул.

Библиографический список

1. Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. – 52 с.

2. Понарин Я. П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов – М.: МЦНМО, 2004. - 160 с.

3. Швецов Д. От прямой Симсона до теоремы Дроз-Фарни, Квант. - №6, 2009. – с. 44-48

4. Яглом И. М. Геометрические преобразования. Линейные и круговые преобразования. - Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 612 с.

5. Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии – М.: Физматгиз, 1963. – 192 с.