Применение комплексных чисел в элементарной геометрии (стр. 2 из 4)

Фигура

называется подобной фигуре , если существует подобие, отображающее . В частности, подобные треугольники являются соответственными при подобии. Преобразование, обратное подобию с коэффициентом , есть также подобие с коэффициентом . Существует два рода подобий плоскости. Подобие первого рода отображает каждый треугольник в одинаково ориентированный с ним (подобный) треугольник, а подобие второго рода меняет ориентацию каждого треугольника на противоположную.

Преобразование подобия плоскости задаётся тремя парами соответственных точек

, заданных так, что треугольник подобен треугольнику . Однако если род подобия известен, то для его задания достаточно наличия двух пар соответственных точек.

По определению, треугольники называются подобными и одинаково ориентированными (подобие 1 рода) тогда и только тогда, когда

(углы ориентированные). С помощью комплексных чисел эти равенства можно записать так:

Равенства

эквивалентны одному

или

где

- комплексное число, – коэффициент подобия.

Составим формулы подобия первого и второго рода. При одинаковой ориентации треугольников

имеем:

откуда

При противоположных ориентациях этих треугольников получим:

откуда

Итак, получены формулы для подобия первого и второго рода.

Проведем обратное рассуждение: пусть преобразование плоскости определено одной из формул

где и – постоянные комплексные числа, не может быть равна нулю. Тогда это преобразование первого или второго рода соответственно. Если точки переходят в точки , то при первом преобразовании
, а при втором Следовательно, в обоих случаях

Очевидно, если

, то вышеприведенными формулами задаются движения плоскости первого и второго рода соответственно.

Принадлежность трех точек прямой

Комплексное число

есть отношение трех точек

. Угол между прямыми, пересекающимися в точке и проходящими через точки равен аргументу отношения :

есть ориентированный угол между ориентированными прямыми .

Условием того, что три точки

лежат на одной прямой, является вещественность отношения этих трех точек или то, что угол или .

Доказательство

Т.к. три точки лежат на одной прямой, то они коллинеарны. Следовательно, по условию коллинеарности, отношение

– действительное число.∎

Принадлежность четырех точек окружности

Условием того, что четыре точки

лежат на одной окружности является то, что разность углов или , или вещественность их двойного отношения , т.е., аналогично условию принадлежности трех точек прямой, отношение

является двойным отношением четырех точек

.

Доказательство

Если точки

коллинеарны, то отношения – действительные числа (по критерию коллинеарности точек). Следовательно, в этом случае будет действительно и двойное отношение.

Если точки

лежат на окружности, то рассмотрим два возможных случая:

1) точки

находятся в одной полуплоскости относительно прямой ,

2) точки

лежат в различных полуплоскостях относительно прямой .

В первом случае ориентированные углы

равны, во втором случае , т.е. В обоих случаях разность или . Но т.к. эта разность равна

то w – действительное число.∎

Ортоцентр треугольника

Рассмотрим треугольник

. Условимся, что , т.е. все вершины треугольника принадлежат единичной окружности (центр описанной окружности O- начало координат, а радиус - единица длины). Таким образом очевидно, что точка , которая равна есть вершина ромба , из чего следует, что прямые взаимно перпендикулярны как диагонали ромба; точка

является серединой стороны

треугольника . Точка – вершина параллелограмма , т.е. , т.е. - высота треугольника , а – точка пересечения высоты со стороной . Аналогично можно доказать, что прямые и - высоты треугольника . Поэтому - точка пересечения высот треугольника, т.е. является ортоцентром.