Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 9 из 16)

Использование второго тождества удобно для построения графика функции

.

Решение. В силу второго тождества, выражение задающее функцию, записывается в виде:

.

Искомый график изображен на рисунке (см. рис. ).

Пример Найдите масимальное значение выражения

где

, , ..., --- различные натуральные числа от 1 до 1990.

Решение. Заметим, что модуль разности двух неотрицательных чисел не больше их максимума. Поэтому

не больше, чем , не больше, чем , не больше, чем . Далее, данное выражение не может равняться 1990, поскольку четность этого выражения совпадает с четностью суммы . Наконец приведем пример, показывающий, что значение выражения может равняться 1989:

Ответ. 1989.

Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений

Пример Чему равна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения

Решение. Рассмотрим выражение

и преобразуем его к виду

Очевидно, что числитель дроби при любых значениях переменной является положительным числом. Значит дробное выражение положительно, если

(т.к. ). Преобразуем полученное выражение, при условии . Получим уравнение, равносильное исходному:

Ответ.

.

Пример Решить уравнение

Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие

, на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение . Решая его и учитывая ограничение , получаем

Ответ.

.

Пример Решить уравнение:

Решение. Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаками второго, третьего и т.д. модулей, положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим

Ответ.

.

Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации

Геометрический смысл выражения

--- длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами и . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.

Пример Решим уравнение

.

Решение. Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой

до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка,--- нет.

Ответ.

.

Пример Решим уравнение

.

Решение. Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2.

Ответ.

.

Пример Решить неравенство

.

Решение. Изобразим на координатной прямой точки, сумма расстояний от которых до точек

и в точности равна . Это все точки отрезка . Для всех чисел вне данного отрезка сумма расстояний будет больше двух.

Ответ.

.

Замечание. Обобщением решения вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:

Пример Решите неравенство:

.

Решение. Решим неравенство, используя координатную прямую. Данное неравенство выполняется для всех точек c координатой

, которые находятся ближе к точке с координатой , чем к точке с координатой . Так как , то искомыми являются все точки, расположенные левее точки с координатой .

Ответ.

.

Пример Решите уравнение

.

Решение. Рассмотрим на числовой прямой точку с координатой

. Сумма равна сумме расстояний от точки до точек с координатами 2, 1, 0, -1, -2. Заметим, что сумма расстояний от любой точки до точек и не меньше длины отрезка (и равенство достигается тогда и только тогда, когда точка расположена на отрезке ). Отсюда получаем, что не меньше 4, а не меньше 2 при любом . Поэтому для того, чтобы сумма была равна , необходимо, чтобы . Итак, необходимо равен . Легко проверить, что значение действительно является решением данного уравнения.