
Поскольку указанная сумма представляет собой удвоенную арифметическую прогрессию с первым членом 1, последним членом 999, сложенную с числом 1000, то она равна

Тогда при

уравнение не будет иметь решений, при

их будет бесконечно много, а при

уравнение будет иметь два решения.
Метод раскрытия модулей рассмотрим на примере:
Пример Решить уравнение

Решение. Это уравнение содержит более одного модуля.
Метод решения уравнений, содержащих переменные под знаком двух и более модулей, состоит в следующем.
1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль:

,

;

,

;

,

.
2. Отметить эти точки на числовой прямой.
3. Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знак выражений, которые находятся под модулями.
1) При

или

. Чтобы определить знак каждого из выражений под модулем на этом промежутке, достаточно взять любое значение

из этого промежутка и подставить в выражение. Если полученное значение отрицательно, значит, при всех

из этого промежутка выражение будет отрицательным; если полученное числовое значение положительно, значит, при всех значениях

из этого промежутка выражение будет положительным.
Возьмем значение

из промежутка

и подставим его значение в выражение

, получаем

, значит на этом промежутке

отрицательно, а следовательно ``выйдет'' из под модуля со знаком ``минус'', получим:

.
При этом значении

, выражение

получит значение

, значит, оно на промежутке

также принимает отрицательные значения и ``выйдет'' из модуля со знаком ``минус'', получим:

.
Выражение

получит значение

и ``выйдет'' из под модуля со знаком ``минус'':

.
Уравнение на этом промежутке получится таким:

, решая его, находим:

.
Выясняем, входит ли это значение в промежуток

. Оказывается входит, значит

является корнем уравнения.
2) При

. Выбираем любое значение

из этого промежутка. Пусть

. Определяем знак каждого из выражений под модулем при этом значении

. Оказывается, что выражение

положительно, а два других отрицательны.
Уравнение на этом промежутке примет вид:

. Решая его, находим

. Это значение не входит в промежуток

, а значит, не является корнем уравнения.
3) При

. Выбираем произвольное значение

из этого промежутка, скажем,

и подставляем в каждое из выражений. Находим, что выражения

и

положительны, а

--- отрицательно. Получим следующее уравнение:

.
После преобразования, получим:

, а значит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.
4) При

. Нетрудно установить, что все выражения на этом промежутке положительны, а значит получим уравнение:

,

,

которое входит в промежуток и является корнем уравнения.
Ответ.

,

.
Пример Решить уравнение

Решение.

Ответ.

,

.
Из сформулированного свойства модуля можно вывести два полезных следствия:

Проиллюстрируем применение первого из них для решения задачи вступительного экзамена в Санкт-Петербургский государственный университет.
Пример Изобразить график функции

Решение. Перепишем задающую функцию выражение, используя первое следствие:

.
Осталось только построить графики функций

,

в одной системе координат и определить участки, на которых один из них выше другого (см. рис. ).