Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 4 из 16)
Пример Два тела начинают одновременно двигаться равномерно по прямым 
и 
, пересекающимися под прямым углом. Первое тело движется со скоростью 3 км/ч по прямой от точки 
к точке 
, находящейся на расстоянии 2 км от точки . Второе тело движется со скоростью 4 км/ч по прямой от точки 
к точке , находящейся на расстоянии 3 км от точки . Найти наименьшее расстояние (в км) между этими телами во время движения.
Решение. Через
часов первое тело будет находится от точки на расстоянии 
км, а второе --- на расстоянии 
км. По теореме Пифагора расстояние между телами составит 
. 
км.Ответ.
км.Пример Пункты и расположены на прямолинейной магистрали в 9 км друг от друга. Из пункта в направлении пункта выходит автомашина, двигающаяся равномерно со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта в том же направлении с постоянным ускорением 32 км/ч 
выходит мотоцикл. Найти наибольшее расстояние между машиной и мотоциклом в течении первых двух часов движения.
Решение. Расстояние между автомобилем и мотоциклом через
часов составит 
. 
.Ответ. 16 км.
Пример Из пункта в пункт вышел пешеход. Не позже чем через 40 мин вслед за ним вышел второй. Известно, что в пункт один из них пришел раньше другого не менее, чем на 1 час. Если бы пешеходы вышли одновременно, то они бы пришли в пункт с интервалом не более чем в 20 мин. Определить, сколько времени требуется каждому пешеходу на путь от до , если скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого.
Решение. Пусть
и 
(мин) --- время, затраченное соответственно первым и вторым пешеходом на путь из в , и пусть второй пешеход вышел позже первого на 
минут. Рассмотри 2 возможности 1) 
и 2) 
. В случае имеем равенство 
и систему 
Из первого и третьего неравенства получим
, учитывая второе условие получим, что 
, и это в свою очередь дает равенства 
и 
. Т.о. 
, , 
.В случае
имеем 
и сиcтему 
Но так как
, то система не совместна, и, следовательно, случай 2 не может иметь места.Ответ.
, , .Пример По расписанию автобус должен проходить путь 
, состоящий из отрезков 
, 
, 
длиной 5, 1, 4 км соответственно, за 1 час. При этом выезжая из пункта в 10 ч, он проходит пункт в 10 ч 10 мин, пункт 
в 10ч 34 мин. С какой скоростью 
должен ехать автобус, чтобы время за которое автобус проходит половину пути от до 
(со скоростью ), сложенное с суммой абсолютных величинотклонения от расписания при прохождении пунктов и , превышало абсолютную величину отклонения от расписания при прохождении пункта не более, чем на 28 мин.
Решение. Условие задачи приводит к системе
которая имеет единственное решение
.Ответ. 30 км/ч.
Пример Согласно расписанию катер проходит по реке, скорость течения которой 5 км/ч, путь из в длиной 15 км за 1 час. При этом выходя из пункта в 12ч, он прибывает в пункты и , отстоящие от на растояние 11 км и 13 км соответственно, в 12 ч 20 мин и в 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катер двигался из в без остановок с постоянной скоростью (относительно воды), то сумма абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты , , не превышало бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью в стоячей воде. Какой из пунктов находится выше по течению: или ?