Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 3 из 16)

где обозначено

, .

Если к тому же выполнены условия согласования

то рассматриваемая кусочно-линейная функция непрерывна. Непрерывная кусочно-линейная функция называется также линейным сплайном.

Подобный график изображен на рисунке :

pics/ex1.eps

Функцию с графиком, показанным на этом рисунке, можно задать и одной и тремя формулами:

Однако нетрудно заметить, что эту же функцию можно задать и одной формулой, используя модули:

. Оказывается, что и любую непрерывную кусочно-линейную функцию вида (1) можно задать некоторой формулой вида

где числа

, , , ..., легко найти по графику данной функции.

Заметим, что две ломанные с бесконечными крайними звеньями и одинаковыми абсциссами вершин

, , ..., совпадают, если у них равны угловые коэффициенты всех ``одноименных'' звеньев и имеется общая точка. Иными словами, знание угловых коэффициентов всех звеньев и координат одной точки такой ломаной на основе указанной информации, при котором данная точка берется за исходную, см. рисунок .

pics/ex2.eps

Отмеченный факт мы и положим в основу получения формулы для непрерывной кусочно-линейной функции, заданной своим графиком. Напомним, что

равняется , если , и , если . Поэтому на каждом из промежутков , , ..., , на которые числовая прямая разбивается точками, функция, определяемая формулой (), будет линейная (как сумма линейных функций), и для нахождения углового коэффициента соответствующего звена ломанной достаточно найти коэффициент при после раскрытия всех модулей в выражении () на соответствующих этим звеньям промежутках, находим:

Вычитая из второго равенства первое, получаем

вычитая из третьего второе, получаем и т. д. Мы приходим в итоге к соотношениям

Складывая первое равенство с последним, получаем

откуда

Обратно, нетрудно проверить, что из равенств (3) и () вытекают соотношения ().

Итак, если коэффициенты

определяются формулами (3) и (), то угловые коэффициенты всех звеньев графика функции () совпадают с соответствующими угловыми коэффициентами заданного графика и, значит, остается обеспечить всего одну общую точку этих ломанных для их совпадения.

Этого всегда можно добиться выбором подходящего значения оставшегося пока не определенным коэффициента

. С этой целью достаточно подставить в формулу (), коэффициенты которой уже вычислены из соотношений (3) и (), координаты какой-либо одной точки данной ломаной и найти из полученного равенства.

Пример Найдем уравнение ломаной, изображенной на рисунке (треугольный импульс).

pics/ex3.eps

Решение. Угловые коэффициенты звеньев таковы:

, , , . Поэтому .

Значит, уравнение данной ломаной имеет вид

Найдем значение коэффициента

из условия , подставляя координаты вершины (0; 1) нашей ломаной в уравнение, получим , откуда находим, , и уравнение окончательно запишем в виде

Примеры решения задач, использующих свойства модуля

Пример В некотором лесу расстояние между любыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м. Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.

Решение. Пусть деревья высотой

растут в точках . Тогда по условию . Следовательно, длина ломаной не превосходит м. Эту ломаную можно огородить забором, длина которого не превосходит 200 м (см. рис. ).

Пример На отрезке

числовой оси расположены четыре точки:

,

,

,

. Докажите, что найдётcя точка

, принадлежащая

, такая, что

.

Решение. Точки

, , , делят отрезок не более чем на пять частей; хотя бы одна из этих частей является интервалом длины не меньше . Возьмём за центр этого интервала. Расстояние от до концов этого интервала не меньше , а до других точек из числа , , , --- больше . Поэтому два из чисел , , , не меньше , а остальные два строго больше . Так что все обратные величины не больше 10, а две из них строго меньше 10. Тогда сумма обратных величин меньше 40, что и требуется.