Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 15 из 16)
pics/ex9.eps
При таком схематическом изображении понятно, что:
1) при
оба трехчлена положительны и уравнение примет вид: 
Решая его, находим
, 
. Оба корня не входят в промежуток и являются посторонними;2) при
первый трехчлен отрицателен, а второй положителен, получим уравнение: 
откуда находим корень 
, который входит в промежуток и является решением уравнения;3) при
оба трехчлена отрицательны, получаем: 
, откуда 
, который входит в промежуток и является решением уравнения;4) при
первый трехчлен положителен, второй --- отрицателен, получаем уравнение: 
, отсюда 
, который входит в промежуток и является решением уравнения;5) при
оба трехчлена положительны, получается такая же ситуация, как и в первом случае. И здесь, оба корня , не входят в промежуток и являются посторонними.Ответ.
, 
, 
.Графическое решение
Для графического решения преобразуем уравнение:
Построим графики функций
и 
График функции
будем строить в несколько этапов:а) строим график функции
;б) строим график функции
, ``зеркально'' отразив нижнюю часть кривой в оси 
;в) строим график функции
для этого достаточно график функции ``опустить'' вниз (осуществить параллельный перенос вдоль оси 
) на 
;г) полученный график полностью симметрично отразим в оси
, ``перевернем'' вокруг оси на 
.В результате получим график функции
.График функции
построим уже известным способом: строим параболу 
и зеркально отражаем в оси только часть параболы, находящуюся ниже оси .Находим абсциссы точек пересечения графиков, которые и будут являться решениями уравнения (см. рис. ).
pics/ex10.eps
Абсциссы точек пересечения следующие: 1,75; 2,5 и 3,25. Они и будут решениями уравнения.
Пример Решите уравнение 
.
Решение. Решать будем это уравнение последовательно ``раскрывая'' модули, начиная с ``внешнего'' и ``приближаясь'' к переменной
.После раскрытия первого модуля, получим совокупность двух уравнений:
(1)
или (2) 
.Решая уравнение (1), в свою очередь, получаем два уравнения:
,(3)
или (4) 
.Из уравнения (3) находим:
, 
из уравнения (4) находим: 
, 
Решая уравнение (2), также получим:
, которое распадается два уравнения:(
) 
или ( 
) 
.Из (
) получаем: 
, 
, 
Из ( ) 
, которое не имеет решений.Ответ.
Пример Решить уравнение:
Решение. ОДЗ данного уравнения:
Простой проверкой нетрудно убедиться, что
и 
--- решения данного уравнения.Ответ.
.Если решать уравнение путем возведения в квадраты обеих его частей, то получится уравнение
У этого уравнения добавится ``лишний'' корень
, не принадлежащий ОДЗ.Преобразование
, не равносильное, т.к. входит в ОДЗ исходного выражения, но не входит в ОДЗ преобразованного.Нюанс состоит в том, что при
функция 
существует и при 
, т.к. на что ноль ни умножай --- будет ноль.Пример Решить уравнение 
.
Решение. Начнем раскрывать внутренний модуль (раскрытие внешнего модуля займет гораздо больше времени):
1. При
имеем 
.Теперь рассмотрим два случая:
а)
, т.е. 
;