Если

, тогда получим уравнение:

Дискриминант этого уравнения равен:

.
Уравнение (2) будет иметь один корень при

и

. Два корня --- при

и

.
Делаем вывод, что при

уравнение (1) имеет один корень, а уравнение (2) --- два корня. При

, уравнение (1) имеет два корня, а уравнение (2) --- один.
Таким образом, при

и

данное уравнение имеет три корня.
Найдем эти корни. При

, первое уравнение примет вид:

. Оно имеет один корень:

Уравнение (2) примет вид:

которое имеет два корня:

,

.
При

, уравнение (2) примет вид:

. Оно имеет один корень:

.
Уравнение (1) при этом станет:

, которое будет иметь корни:

,

.
Ответ. При

,

,

,

.
При

,

,

,

.
Пример Для каждого значения параметра
определите число решений уравнения
. Решение.
1. Если

, тогда уравнение не имеет решений, модуль любого вещественного числа неотрицателен.
2. Если

, тогда получим уравнение

. Это уравнение имеет два корня, так как

.
3. Если

, тогда получаем совокупность двух уравнений:

Первое уравнение имеет дискриминант:

. Оно не будет иметь корней при

,

, но это невозможно, так как

. Также оно не может иметь один корень (тогда

, что также невозможно). Таким образом, при

уравнение (1) имеет два корня.
Второе уравнение имеет дискриминант:

. Оно не будет иметь корней, если

,

,

. Будет иметь один корень, если

. Будет иметь два корня, если

.
Окончательно получаем.
Ответ. Если

, тогда уравнение не имеет корней.
Если

и

, тогда уравнение имеет два корня.
Если

, тогда уравнение имеет три корня.
Если

, тогда уравнение имеет четыре корня.
Пример Найдите все значения параметра
из промежутка
, при каждом из которых больший из корней уравнения
принимает наибольшее значение. Решение.
Преобразуем уравнение к виду

.
Значит, если

,

, тогда

. Найдем наибольшее значение

, при котором

, т. е. наибольшее решение неравенства

.
Преобразуем это неравенство:

,

,

,

,

.
Последнее неравенство решим методом интервалов, помня, что

.
Решение неравенства будет множество:

.
Ясно, что дробь

принимает наибольшее значение при

, тогда значение

будет равно:

.
Ответ. При

.
Пример Найти все значения параметра
, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение. Решение.
Найдем решения для каждого значения

, а затем отберем те, которые удовлетворяют условию задачи, т. е. при которых уравнение имеет единственное решение.
Для каждого фиксированного

будем искать решения данного уравнения сначала на промежутке

, а потом на промежутке

, поскольку модуль обращается в нуль при

:
1) Пусть

. На этом промежутке

и поэтому данное уравнение примет вид

.