Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 12 из 16)

Ответ. 6.

Пример Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение

где

, ,..., , , , ..., --- различные числа?

Решение. Положим

и перепишем исходное уравнение в виде .

Пусть

--- все числа из множества , упорядоченные по возрастанию. На каждом из 101 промежутка , ,..., , , функция линейна. Заметим, что на первом и последнем из этих промежутков и соответственно, при этом , так как количество корней конечно.

Пойдем по числовой оси слева направо.

Вначале угловой коэффициент функции

равен 0. Всякий раз, когда мы проходим одну из точек , он за счет смены знака при раскрытии соответствующего модуля изменяется на .

Таким образом, он всегда равен четному целому числу и не может поменять знак, не обратившись перед этим в 0.

Значит, угловые коэффициенты на любых двух соседних промежутках либо оба неотрицательны, либо оба неположительны, т.е. функция

на объединении этих промежутков либо неубывающая, либо невозрастающая.

Стало быть, если число ее корней конечно, то на каждом из 50 промежутков

,..., , она имеет не более одного корня. Кроме того, на крайних интервалах значения имеют разные знаки, и в каждом корне знак функции меняется. Следовательно, количество корней нечетно и не превышает 49.

Нетрудно проверить, что если роль

будут играть числа 1, 4, 5, 8, 97, 100, а роль --- числа 2, 3, 6, 7, 94, 95, 98, , то уравнение будет иметь ровно 49 корней.

Ответ. 49.

Пример Решите систему неравенств

Решение. Предположим, что данная система неравенств имеет решение

, , , . Тогда, в частности, , т. е.

Аналогично получаем

Перемножим все полученные неравенства. С одной стороны, произведение четырёх положительных чисел положительно. С другой стороны, это произведение равно ---

Приходим к противоречию.

Ответ. Система не имеет решений.

Пример Существуют ли действительные числа

,

и

такие, что при всех действительных

и

выполняется неравенство

Решение. Предположим, что такие числа

, и существуют. Выберем и такие, что , , . Тогда разность между левой и правой частями равна . А если взять и такие, что , , , то эта разность будет равна . Таким образом, с одной стороны, , с другой . Противоречие.

Ответ. Нет.

Пример Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство

?

Решение. При натуральном

уравнение имеет ровно целочисленных решений, а при решение единственно. Таким образом, количество решений исходного неравенства равно .

Ответ. 19801.

Пример Найдите все значения параметра

, при каждом из которых уравнение имеет три различных корня; найдите эти корни:

.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

.

Если

, тогда получим уравнение:

Дискриминант этого уравнения равен:

.

Уравнение (1) будет иметь один корень, при

и . Два корня, при и .