Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 9 из 26)

Сделаем теперь некоторые выводы из метода исключения. Формулируем прежде всего результат, полученный в предложении А), для случая однородной системы уравнений

(6)

Б) Если система функций

представляет собой решение системы (6), то каждая отдельная функция , входящая в это решение, удовлетворяет уравнению

где D(p) — детерминант матрицы

системы (6).

Покажем теперь, как, пользуясь методом исключения, следует решать, однородную систему уравнений (6).

Систему (6) перепишем в векторной форме

(7)

где

- матрица системы (6), а .

В) Допустим, что детерминант D(p) системы (6) не обращается тождественно в нуль, и пусть

— корень многочлена D(p), имеющий кратность k. Будем искать решение уравнения (8), имеющее вид:

(8)

г7де

— вектор, компоненты

(9)

которого являются многочленами степени k - 1 относительно t с неопределенными коэффициентами. Каждое решение вида (8) уравнения (7) мы будем называть соответствующим корню

.

Подставляя предполагаемое решение (8) в уравнение (7), мы получим:

После сокращения на

это дает:

(10)

Таким образом, вектор (8) тогда и только тогда является решением уравнения (8), когда многочлены (9) удовлетворяют условию (10). Переписывая векторное уравнение (10) в координатной форме, получим n соотношений:

(11)

Левая часть каждого соотношения (11) представляет собой многочлен степени k - 1 относительно t, коэффициенты которого являются линейными однородными функциями коэффициентов многочленов (9). Приравнивая нулю коэффициент при каждой степени t в каждом из соотношений (11), мы получим систему линейных однородных уравнений относительно коэффициентов многочленов (9). Эта система эквивалентна уравнению (10).

Таким образом, изложенный метод сводит задачу отыскания решений вида (8) к решению некоторой линейной однородной системы алгебраических уравнений. Из сказанного видно, что решения вида (8) определены на всем бесконечном интервале

.

Вопрос о том, как отыскать все решения уравнения (7), решается нижеследующей теоремой:

Теорема 7. Допустим, что детерминант D(p) системы (6) не обращается тождественно в нуль, и пусть

- совокупность всех различных корней многочлена D(p). Тогда произвольное решение х уравнения (7), может быть записано в виде:

(12)

где

— некоторое решение уравнения (7), соответствующее корню (см. В)). Отсюда, в частности, следует, что каждое решение уравнения (7), определено для всех значений t.

Доказательство. Допустим, что

- некоторое решение уравнения (7) определенное на интервале ; покажем, что на этом интервале оно может быть записано в виде (12). В силу предложения Б), каждая функция , на интервале удовлетворяет уравнению

и потом в силу предложения А) § 6 может быть записана на этом интервале в виде:

(13)

Здесь

есть многочлен степени , где — кратность корня .

Таким образом, каждое решение х уравнения (7) на интервале своего определения

записывается в виде:

(14)

где

— вектор, компоненты которого являются многочленами степени . Для доказательства теоремы 7 нам достаточно показать теперь, что каждое слагаемое в правой части равенства (14) есть решение уравнения (7). Для доказательства этого подставим решение (14) в уравнение (7). Мы получим:

(15)

Так как числа

попарно различны, то из равенства (15) следует:

или, иначе,

Но это и значит, что

есть решение уравнения (7).

Итак, теорема 7 доказана.

Пример

Решим методом исключения систему уравнений

Перепишем ее в символической форме:

Детерминант системы, как легко видеть, равен

; он имеет двукратный корень . Согласно теореме 7 решение системы следует искать в виде:

Подстановка этих функций в первое уравнение дает (после сокращения на

):

a + c – ct – d = 0,

откуда

Те же соотношения для коэффициентов получаются и при подстановке во второе уравнение системы. Таким образом, общее решение рассматриваемой системы записывается в виде:

где a и b - произвольные постоянные.

§9. Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами

В этом параграфе решается система уравнений

(1)

с постоянными коэффициентами. Эта система может быть решена методом исключения, здесь она решается путем приведения матрицы

к жордановой форме. В случае, когда все собственные значения матрицы А различны, возможность приведения ее к жордановой, т.е. в данном случае диагональной, форме представляет собой весьма элементарный алгебраический факт. В общем случае возможность приведения матрицы А к жордановой форме относиться к наиболее сложным результатам курса линейной алгебры.

Обычно приведение матрицы А к жордановой форме для решения системы (1) используется путем линейного преобразования неизвестных функций

. Другой способ, по существу также опирающийся на приведение матрицы А к жордановой форме, изложен в этом параграфе.