Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 8 из 26)
Здесь будет дано решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами со свободным членом специального вида, являющимся так называемым квазимногочленом.
А) Квазимногочленом будем называть всякую функцию F(t), которую можно записать в виде:
(1)где
суть некоторые комплексные числа, а 
— многочлены от t. Из предложения А) § 6 следует, что каждое решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами является квазимногочленом. Можно доказать, что и обратно, каждый квазимногочлен является решением некоторою линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Если какие-нибудь два числа последовательности совпадают между собой, например, если 
, то члены суммы (1), соответствующие этим числам, можно объединить и заменить членом 
. Таким образом, запись (1) всегда можно привести к такому виду, что числа 
, входящие в нее, попарно различны. Отметим, что сумма и произведение двух произвольных квазимногочленов также есть квазимногочлен; далее, если к произвольному квазимногочлену применить произвольный оператор L(p), то мы вновь получим квазимногочлен.Таким образом, в настоящем параграфе будет рассматриваться уравнение
(2)где F(t) есть некоторый квазимногочлен. Наряду с уравнением (2) рассмотрим соответствующее однородное уравнение
(3)Нижеследующее предложение непосредственно вытекает из замечания Б) § 4.
Б) Если
есть некоторое решенме уравнения (2), то произвольное z того же уравнения может быть записано в виде: 
где u есть некоторое решение уравнения (3).
Так как произвольное решение однородного уравнения мы отыскивать уже умеем, то дело сводится, таким образом, к отысканию одного решения или, как говорят, частного решения уравнения (2) в случае, когда F(t) есть квазимногочлен. Так как, далее, каждый квазимногочлен записывается в виде (1), то в силу замечания В) § 4 дело сводится к отысканию частного решения уравнения (2) в случае, когда
где f(t) - многочлен. Для этого случая решение отыскивается в нижеследующей теореме.Во избежание недоразумений отметим, что в дальнейшем под многочленом степени r мы будем понимать функцию вида
, не предполагая непременно, что старший коэффициент 
отличен от нуля.Теорема 6. Рассмотрим неоднородное уравнение
(4)в котором f(t) есть многочлен степени r относительно t, а
- комплексное число. Пусть k = 0, если 
. Оказывается, что существует частное решение уравнения (4), имеющее вид: 
(5)где g(t) есть многочлен степени r относительно t. Коэффициенты многочлена g(t) можно найти методом неопределенных коэффициентов.
§ 8. Метод исключения
До сих пор мы занимались решением одного линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Оказывается, однако, что весьма общую систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами можно в некотором смысле свести к одному уравнению. Сведение это осуществляется методом исключения, аналогичным тому, который употребляется в теории линейных алгебраических (не дифференциальных) уравнений. Здесь будет дано изложение этого метода и сделаны некоторые выводы из него.
Мы будем рассматривать систему уравнений
(1)здесь
- неизвестные функции независимого переменного t, а 
— заданные функции времени t. Каждый символ 
представляет собой многочлен с постоянными коэффициентами относительно оператора дифференцирования р, так что один член 
представляет собой линейную комбинацию с постоянными коэффициентами относительно функции 
и ее производных. Число уравнений системы (1) равно числу неизвестных функции.Порядок системы (1) относительно неизвестной функции
обозначим через 
, так что общий порядок системы (1) определяется формулой 
. Ставя задачу решения системы (1), мы, естественно, должны предполагать, что каждая неизвестная функция 
имеет все производные до порядка включительно; предположение о существовании производных более высоких порядков не вытекает из постановки задачи.Применяя к системе (1) метод исключения, мы будем предполагать, что каждая из неизвестных функций
имеет достаточное число производных, точно так же, как и каждая из функций 
. Делая эти допущения, мы, с одной стороны, сужаем класс рассматриваемых решений (предположение о достаточной дифференцируемости неизвестных функций), а, с другой стороны, сужаем класс рассматриваемых уравнений (предположение о достаточной дифференцируемости функций 
). Первое из этих ограничений можно снять, доказав, что если 
есть решение системы (1) и если правые части 
имеют достаточное число производных, то каждая из функций имеет достаточное число производных (см. примеры 3 и 4).Перейдем к изложению метода исключения.
А) Рассмотрим матрицу
(2)системы уравнений (1). Каждый элемент
матрицы (2) есть многочлен относительно р. Таким образом, можно вычислить детерминант D(р) матрицы (2) и ее миноры. Алгебраическое дополнение элемента матрицы (2) (т. е. минор этого элемента, взятый с надлежащим знаком) обозначим через 
. Из курса высшей алгебры известно, что имеет место тождество: 
(3)где
есть так называемый символ Кронекера: 
Умножая уравнение (1) на многочлен
(т.е. производя ряд дифференцирований, умножений на числа и сложений) и суммируя затем по j, мы получаем равенство 
(4)(При переходе от равенств (1) к равенству (4) мы использовали существование достаточно большого числа производных у функций
и 
.) В силу (3) равенство (4) можно переписать в виде 
(5)Полученная нами система уравнений (5) (
) обладает тем свойством, что каждая неизвестная функция 
входит лишь в одно уравнение (5). Мы доказали, таким образом, что если система функций представляет собой решение системы (1), то каждая отдельная функция 
является решением уравнения (5).Не следует думать, однако, что если для каждого номера i выбрать произвольным образом решение
уравнения (5) и затем составить систему функций 
, то полученная система функций будет решением системы (1). Для того чтобы найти общее решение системы (1), нужно найти общее решение 
каждого уравнения (5), 
, составить систему функций и затем выяснить, при каких условиях (при каких соотношениях между постоянными интегрирования) эта система функций удовлетворяет системе уравнений (1).