Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 22 из 26)

,

т.е. точка

также принадлежит множеству N.

Обозначим через

точную верхнюю грань множества N. Так как N замкнуто, то принадлежит этому множеству, т. е ; следовательно, . Но тогда, в силу ранее доказанного, функции и должны совпадать на некотором интервале , и точка не может быть точной верхней гранью множества N. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Итак, теорема 2 доказана.

§ 14. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки

Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении аргумента и, в частности, при неограниченном возрастании аргумента. Например, бывает важно знать, являются ли решения, удовлетворяющие данным начальным условиям, периодическими, приближаются ли они асимптотически к какой-либо известной функции и т.д. Этими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений.

Одним из основных вопросов качественной теории является вопрос об устойчивости решения или об устойчивости движения; этот вопрос был подробно исследован знаменитым русским математиком А.М. Ляпуновым (1857-1918).

Пусть дана система дифференциальных уравнений

. (1)

Пусть

и - решения этой системы, удовлетворяющие начальным условиям

(1’)

Пусть далее,

и - решения уравнения (1), удовлетворяющие начальным условиям

(1”)

Решения

и , удовлетворяющие уравнениям (1) и начальным условиям (1’), называются устойчивыми по Ляпунову при , если для каждого как угодно малого можно указать такое, что при всех значениях будут выполняться неравенства

(2)

если начальные данные удовлетворяют неравенствам

(3)

Выясним смысл этого определения. Из неравенств (2) и (3) следует, что при малых изменениях начальных условий мало отличаются соответствующие решения при всех положительных значениях

. Если система дифференциальных уравнений является системой, описывающей некоторое движение, то в случае устойчивости решений характер движений мало изменяется при малом изменении начальных данных.

Рассмотрим, далее, систему линейных дифференциальных уравнений

(4)

Будем предполагать, что коэффициенты

постоянные, при этом очевидно, что есть решение системы (4), в чем убеждаемся непосредственной подстановкой. Исследуем вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты системы, чтобы решение было устойчиво. Это исследование проводится так.

Дифференцируем первое уравнение и исключаем

и на основании уравнений системы:

или

. (5)

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (5) имеет вид

(6)

Это уравнение принято записывать в виде определителя

(7)

Обозначим корни характеристического уравнения (7) через

и . Как мы увидим ниже, устойчивость или неустойчивость решений системы (4) определяется характером корней и .

Рассмотрим все возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные:

. Из уравнения (5) находим

Зная х, из первого уравнения (4) находим у. Таким образом, решение системы (4) имеет вид:

(8)

Если g = 0 и

, то уравнение (5) мы составим для функции у. Найдя у, из второго уравнения системы (4) находим х. Структура решений (8) сохранится. Если же g = 0, а=0, то решение системы уравнений принимает вид:

(8’)

Анализ характера решений в этом случае производится проще.

Подберем

и

так, чтобы решения (8) удовлетворяли начальным условиям

Решение, удовлетворяющее начальным условиям, будет

(9)

Из последних равенств следует, что при любом

можно выбирать и столь малыми, что для всех t > 0 будет , так как .

Отметим, что в данном случае

(10)

В случае решений (9) особая точка называется устойчивым узлом (рис.9 а). Говорят, что точка, неограниченно приближается к особой точке при

.