Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 21 из 26)

б) Существует такое число

, что для любых двух функций семейства , имеет место неравенство

(18)

Рассмотрим условие а). Для того чтобы функция

принадлежала семейству , необходимо и достаточно, чтобы при было выполнено неравенство:

.

В силу (10), (5) и (15) мы имеем:

.

Из этого видно, что при

(19)

условие а) выполнено.

Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем:

. (20)

Оценим теперь последнее подынтегральное выражение, пользуясь неравенствами (6) и (15):

. (21)

Из (20) и (21) следует

Таким образом, условие б) выполнено, если

, (22)

где

.

Итак, если число r удовлетворяет неравенствам (16), (19), (22) (которые мы в дальнейшем будем считать выполненными), то для семейства

выполнены условия а) и б).

Построим теперь последовательность векторных функций

, (23)

определенных на отрезке

, положив

(24)

Так как функция

принадлежит семейству , то и все функции последовательности (23) принадлежат этому же семейству (см. условие а)). Далее, мы имеем (см. (17)):

В силу (18) получаем:

,

отсюда

. (25)

Таким образом, в силу В) последовательность (23) равномерно сходится к некоторой непрерывной функции

, принадлежащей семейству . Покажем, что функция удовлетворяет уравнению (12). Для этого заметим, что последовательность

Равномерно сходится к функции

; действительно, мы имеем (см. (18))

.

Переходя в соотношении (24) к приделу при

, получаем:

.

Итак, существование решении

уравнения (3), удовлетворяющего начальному условию (8), доказано; при этом установлено, что решение определено на интервале , где r – произвольное число; удовлетворяющее неравенствам (16), (19), (22).

Перейдем теперь к доказательству единственности. Пусть

и - два решения уравнения (3) с общими начальными значениями и — интервал, являющийся пересечением интервалов существования решений и ; очевидно, что . Покажем, что если решения и совпадают в некоторой точке интервала , то они совпадают и на некотором интервале , где r – достаточно малое положительное число. Положим ; тогда величины могут быть приняты за начальные значения обоих решений и . В этом смысле точка ничем не отличается от точки и потому мы сохраним за точкой обозначение ; это позволит нам сохранить и другие прежние, обозначения. Переходя от дифференциального уравнения (3) к интегральному уравнению (9), мы получаем для обеих функций и интегральные равенства, которые в операторной форме могут быть записаны в виде:

. (26)

Выберем теперь, как и прежде, в множестве Г множество П с центром в точке

(см, неравенства (14)), содержащееся в Г, а затем множество таким образом, чтобы число r, кроме неравенств (16), (19), (22), удовлетворяло еще тому условию, что при функции и определены и удовлетворяют неравенствам:

, .

Это возможно, так как функции

и непрерывны. Тогда функции и , рассматриваемые на, отрезке , входят в семейство и, следовательно, в силу неравенства (18) и соотношений (26), получаем:

,

а это возможно только тогда, когда

, т.е. когда функций и совпадают на отрезке .

Докажем теперь, что функции

и совпадают на всем интервале . Допустим противоположное, именно, что существует точка интервала , для которой . Ясно, что . Для определенности будем считать, что . Обозначим через N множество всех тех точек отрезка , для которых , и докажем, что множество N замкнуто. В самом деле, пусть — последовательность точек множества N, сходящаяся к некоторой точке . Тогда , и потому, в силу непрерывности функций и ,