Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 20 из 26)

, (2)

,

мы перепишем систему (1) в векторной форме:

. (3)

Доказательство будет проводиться в векторной форме методом последовательных приближений, и будет представлять собой почти буквальное повторение доказательства теоремы 1, данного в предыдущем параграфе.

Вспомогательные предложения

Для того чтобы непринужденно пользоваться векторными обозначениями, установим прежде всего некоторые естественные определения и простые неравенства для векторов и векторных функций.

Длина или модуль

вектора (2), как известно, определяется формулой

.

Известно и без труда доказывается, что если х и у суть два вектора, то имеет место неравенство

.

Из этого неравенства следует аналогичное неравенство и для произвольного числа векторов

именно:

(4)

Пусть

— непрерывная векторная функция действительного переменного t, т. е. вектор, координаты которого являются непрерывными функциями переменного t. Если функция определена на интервале , то при на том же интервале можно определить векторную функцию

,

задав компоненты

вектора формулами

;

при этом имеет место неравенство

. (5)

Установим еще одно неравенство для векторной функции

векторного переменного х, заданной на выпуклом множестве

пространства переменных . Предположим, что имеют место неравенства:

,

где К — положительное число. Оказывается тогда, что для двух любых точек х и у множества

выполнены неравенства

. (6)

Так же, как при доказательстве теоремы 1, от дифференциального уравнения (3) перейдем к интегральному.

А) Пусть

— некоторое решение дифференциального уравнения (3), так что выполнено тождество

(7)

и пусть

(8)

— начальное условие, которому это решение удовлетворяет. Оказывается, что совокупность соотношений (7) и (8) эквивалентна одному соотношению

(9)

Докажем это. Допустим, что выполнено интегральное тождество (9). Подставляя в него

, получаем равенство (8), а дифференцируя его по t, получаем тождество (7). Допустим теперь, что выполнены соотношения (7) и (8). Интегрируя соотношение (7) в пределах от и и принимай во внимание соотношение (8), мы получаем соотношение (9).

Б) Пользуясь правой частью тождества (9), каждой векторной функции

, график которой проходит в множестве Г, поставим в соответствие функцию , положив:

. (10)

Кратко, в операторной форме то же соотношение запишем в виде:

. (11)

Уравнение (9) теперь может быть записано в виде:

. (12)

В) Пусть

— непрерывная векторная функция, заданная на отрезке . Определим норму этой функции, положив:

Пользуясь понятием нормы, можно формулировать определение равномерной сходимости последовательности

(13)

непрерывных векторных функций, заданных на отрезке

. Последовательность (13) векторных функций равномерно сходится к непрерывной функции , заданной на том же отрезке , если

.

Для того чтобы последовательность (13) равномерно сходилась, достаточно, чтобы были выполнены неравенства

где числа

образуют сходящийся ряд.

Прейдем теперь к доказательству теоремы 2.

Доказательство теоремы 2

Так как точка

принадлежит открытому множеству Г, то существуют такие положительные числа q и a, что все точки , удовлетворяющие условиям

, (14)

лежат в множестве Г. Так как множество П, состоящее из всех точек

удовлетворяющих условиям (14), замкнуто и ограничено (рис.18), то. непрерывные функции

и ,

ограничены на нем, т. е. существуют такие положительные числа М и К, что

, (15)

на множестве П.

Наряду с множеством П рассмотрим содержащееся в нем множество

определяемое неравенствами

,

где

(16)

(рис. 18). Обозначим через

семейство всех непрерывных векторных функций, заданных на отрезке , графики которых проходят в . Таким образом, функция , определенная на отрезке , тогда и только тогда принадлежит семейству когда

Рис. 18.

для любого t, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство

(17)

Постараемся выбрать теперь число r таким образом, чтобы были выполнены следующие два условия:

а) Если функция

принадлежит семейству , то функция (см. (10), (11)) также принадлежит семейству .