Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 2 из 26)

(2)

Дифференциальное уравнение (2) называется разрешенным относительно производной; оно в некоторых отношениях более доступно для изучения, чем общее дифференциальное уравнение (1). Именно уравнения, разрешенные относительно производной, мы и будем теперь рассматривать. Мы не будем уже считать, что соотношение (2) получено в результате разрешения относительно

уравнения вида (1), а будем исходить из функции как из заданной функции двух независимых переменных .

Для того чтобы пользоваться наглядными геометрическими представлениями, мы введем в рассмотрение координатную плоскость Р переменных t и х. При этом t как независимое переменное мы будем откладывать по оси абсцисс, а х как зависимое переменное - по оси ординат. Функция f, определяющая дифференциальное уравнение (2), может быть задана не для всех значений своих аргументов t и х, или, говоря геометрическим языком, не во всех точках плоскости Р, а лишь в точках некоторого множества Г плоскости Р (рис.1). Относительно множества Г мы в дальнейшем всегда будем предполагать, что оно является открытым. Это значит, что наряду с каждой точкой р в Г входит и некоторый круг положительного радиуса с центром в р. Относительно функции f будет предполагаться, что как она сама, так и ее частная производная

являются непрерывными функциями пары переменных на всем множестве Г. Решение уравнения (2) будем геометрически изображать в плоскости Р в виде кривой с уравнением . Кривая эта в каждой точке имеет касательную и полностью проходит в открытом множестве Г; она называется интегральной кривой дифференциального уравнения (2).

Теорема существования и единственности

Известно, какую большую роль в алгебре играют теоремы, отвечающие на вопрос о том, сколько решений имеет та или другая система алгебраических уравнении. В теории дифференциальных уравнений важным теоретическим вопросом является вопрос о том, насколько много решений имеет дифференциальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, и потому приходится ставить вопрос не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решении данного дифференциального уравнения. Ответ на этот вопрос дает теорема существования и единственности (теорема 1), которая в этом параграфе приводится без доказательства. Доказательство будет дано значительно позже (см. §12).

Теорема 1. Пусть

- дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что функция задана на некотором открытом множестве Г плоскости Р переменных. . Относительно функции f будем предполагать, что она сама и ее частная производная являются непрерывными функциями, на всем открытом множестве Г. Теорема утверждает

1) для всякой точки

множества Г найдется решение уравнения (3), удовлетворяющее условию

(4)

2) если два решения

и уравнения (3) совпадают хотя бы для одного значения , т. е. если

то решения эти тождественно равны для всех тех значений переменного t, для которых они оба определены.

Числа

называют начальными значениями для решения , а соотношение (4) — начальным условием для этого решения. Говорят также, что решение удовлетворяет начальному условию (4) или же что оно имеет начальные значения . Утверждение, что решение удовлетворяет начальному условию (4) (или имеет начальные значения ), предполагает, что интервал определения решения содержит точку .

Таким образом, теорема 1 утверждает, что координаты любой точки

множества Г являются начальными значениями для некоторого решения уравнения (3) и что два решения с общими начальными значениями совпадают.

Геометрическое содержание теоремы 1 заключается в том, что через каждую точку

множества Г проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (3) (см. рис. 1).

Говоря, что через каждую точку

множества Г проходит «только одна» интегральная кривая, мы допускаем некоторую неточность. В самом деле, решением уравнения (3) называется функция , заданная на вполне определенном интервале . Наряду с этой функцией может существовать функция , также удовлетворяющая уравнению (3) и имеющая те же начальные значения , но заданная на другом интервале . Вторая часть теоремы 1 утверждает лишь, что функции и совпадают там, где они обе определены, но вовсе на утверждает, что интервалы их определения и одинаковы.

Если один из интервалов, например

, полностью содержит другой, то мы будем говорить, что решение , заданное на интервале является продолжением решения . Естественно сосредоточить все внимание на тех решениях, которые нельзя продолжить ни вправо, ни влево. Такие решения мы будем называть непродолжаемыми. Нетрудно доказать, что каждое решение может быть продолжено до непродолжаемого и притом единственным способом. Если теперь подразумевать под интегральной кривой график непродолжаемого решения, то утверждение том, что через каждую точку проходит единственная интегральная кривая, становится точным.

Каждое решение

уравнения (3) мы интерпретировали геометрически в виде графика функции . Дадим теперь геометрическую интерпретацию самого уравнения (3). Через каждую точку множества Г проведем прямую с угловым коэффициентом . Мы получаем поле направлений, соответствующее уравнению (3), что и дает геометрическую интерпретацию этого уравнения.

Связь между геометрической интерпретацией уравнения и геометрической интерпретацией его решений заключается в том (рис. 2), что любая интегральная кривая

в каждой своей точке касается прямой .