Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 14 из 26)

Пусть b — произвольное положение равновесия уравнения (14), а (a, b) и (b, c) — два интервала системы

, примыкающие к нему (соответственно слева и справа). Каждый из интервалов (a, b), (b, c) представляет собой одну траекторию. Если обе точки, описывающие траектории (a, b) и (b, c), приближаются (при возрастании t) к положению равновесия b, то положение равновесия b называется устойчивым (рис. 4, а). Если обе точки, описывающие траектории (a, b) и (b, c), удаляются от точки b, то положение равновесия b называется неустойчивым (рис 4, б). Если по одной из траекторий точка приближается, а по другой удаляется, то положение равновесия b называется полуустойчивым (рис. 4, в). Для того чтобы положение равновесия b было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы функция f (x) была положительна на интервале (a, b) и отрицательна на интервале (b, c). Для того чтобы положение равновесия b было неустойчивым, необходимо и достаточно, чтобы функция f (х) была отрицательна на интервале (a, b) и положительна на интервале (b, c). Для того чтобы положение равновесия b было полуустойчиво, необходимо и достаточно, чтобы функция f (х) имела один и тот же знак на обоих интервалах (a, b) и (b,c).

Допустим, что

; тогда знак функции f (х) вблизи точки b совпадает со знаком величины . Отсюда следует, что при положение равновесия b уравнения (14) устойчиво, а при оно неустойчиво.

2. Рассмотрим уравнение

(17)

где f (x) есть периодическая функция с непрерывной первой производной. Для определенности будем считать, что период ее равен

. Все сказанное в примере 1 относительно уравнения (14) остается правильным и для уравнения (17), так как уравнение (17) является частным случаем уравнения (14). Однако, для того чтобы учесть специфику уравнения (17) (периодичность функций f (x)) разумно считать, что фазовым пространством уравнения (17) является не прямая, а окружность К радиуса единица, на которой выбрано некоторое начало отсчета 0 и направление обхода (например, против часовой стрелки). Каждому числу х поставим в соответствие точку окружности К, отложив от начала отсчета против часовой стрелки дугу длины х (рис. 5). При этом всем числам (k – целое число) будет соответствовать на окружности одна и та же точка . Так как f( ) = f(x), то можно положить f( ) = f(x), и функция f оказывается заданной на окружности К.

Уравнение (17) задает теперь движение точки

по окружности К. Если x(t) есть некоторое решение уравнения (17), то соответствующая числу x(t) точка (t) движется по окружности К. Если — такая точка на окружности К, что f ( ) = 0, то существует такое решение x(t) уравнения (17), что , и есть положение равновесия уравнения (17). Допустим для простоты, что положения равновесия уравнения (17) на окружности К не имеют предельных точек: тогда их имеется лишь конечное число или нет вовсе (рис. 6). Положения равновесия разбивают окружность на конечную систему интервалов. Если положений равновесия вовсе нет, то система содержит лишь один «интервал» (окружность). Если имеется лишь одно положение равновесия , то система также содержит лишь один интервал, состоящий из всех точек окружности К за исключением точки . В первом случае интервал вовсе не имеет концов, во втором оба его конца совпадают. Пусть I — некоторый интервал системы и x(t) — некоторое решение уравнения (17) с начальными значениями 0, , где есть точка, интервала I. Решение x(t) всегда определено для всех значении t, и точка принадлежит интервалу I. Если интервал I имеет концы (один или два), то точка пробегает интервал I и определенном направлении, причем каждая точка интервала I проходится решением один раз. Если интервал I совпадает со всей окружностью, то, отправившись из положения , точка через некоторое время Т вернется в нее, так что . В этом случае периодически зависит от числа t с периодом Т. Соответствующее движению числовое решение x(t) уравнения (17) удовлетворяет условию

Из этого примера видно, что фазовым пространством системы уравнений не всегда целесообразно считать эвклидово координатное пространство, а иногда приходится считать более сложное геометрическое образование. Ниже, в примере 3, мы столкнемся с этим обстоятельством в более сложной обстановке, чем в этом примере.

3. Рассмотрим систему уравнений

(18)

где функции

являются периодическими относительно обоих аргументов с периодами :

Как всегда, будем предполагать, что функции

непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Ввиду периодичности функций разумно считать, что фазовым пространством системы (18) является не плоскость, а более сложное геометрическое образование, именно, поверхность тора или, как говорят, тор (рис. 7). Опишем эту поверхность.

Рис. 7.

В трехмерном эвклидовом пространстве с декартовыми координатами х, у, z выберем в плоскости х, z окружность K радиуса единица с центром в точке (2, 0, 0). Примем на этой окружности за начало отсчета точку с координатами (3, 0, 0). Тогда каждому числу х будет поставлена в соответствие точка

окружности К (см. пример 2). Будем теперь вращать плоскость (х, z) в пространстве (х, у, z) вокруг оси z. Описываемая при этом вращении окружностью К поверхность Р представляет собой тор. Пусть — некоторая точка окружности К. В результате поворота плоскости (х, z) на угол , исчисляемый в радианах, точка перейдет в некоторую точку р, тора Р (рис. 7). Если сделать поворот не на угол , а на угол , то мы придем к той же точке р тора Р. Таким образом, точка р тора Р однозначно определяется двумя циклическими координатами , и каждой паре циклических координат соответствует на торе одна вполне определенная точка. Мы видим, таким образом, что функции можно считать заданными не на плоскости, а на поверхности тора Р: