Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 11 из 26)

Если теперь подставить найденные константы

в соотношение (12), то мы получим решение , удовлетворяющее начальным условиям

(см. (9)). Таким образом, решения

и имеют общие начальные значения и потому совпадают.

Итак, теорема 9 доказана.

Теперь нам осталось выделить из решений, заданных формулой (12), действительные решения в случае, когда матрица

действительна. Делается это совершенно так же, как и в случае простых корней характеристического уравнения.

§ 10. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства

Здесь будет дана геометрическая интерпретация автономной системы уравнений в виде фазового пространства этой системы. Эта интерпретация существенно отличается от геометрической интерпретации системы уравнений, указанной в §§ 1, 2 и правильнее должна называться не геометрической, а кинематической, так как в этой интерпретации каждому решению системы уравнений ставится в соответствие не кривая в пространстве, а движение точки по кривой. Кинематическая интерпретация (фазовое пространство) в некоторых отношениях более выразительна, чем геометрическая (система интегральных кривых).

Автономные системы

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если в нее явно не входит независимое переменное (или, как мы будем говорить, время) t. Это значит, что закон изменения неизвестных функций, описываемый системой уравнений не меняется с течением времени, как это обычно и бывает с физическими законами. Очень легко доказывается, что если

есть решение некоторой автономной системы уравнений, то

где с — константа, также есть решение той же автономной системы уравнений. Проведем доказательство этого факта на примере нормальной автономной системы уравнений,

А) Пусть

(1)

- автономная нормальная система уравнений порядка n и

- векторная ее запись. Автономность системы (1) заключается в том, что функции

являются функциями переменных и не зависят от времени t. Относительно функций мы будем предполагать, что они определены на некотором открытом множестве пространства размерности n, где координатами точки являются переменные . Мы будем предполагать, что функции и их частные производные первого порядка непрерывны на множестве . Оказывается, что если

(2)

решение уравнения (1), то

(3)

также есть решение системы (1).

Из правила дифференцирования сложной функции вытекает соотношение

(4)

Действительно,

Докажем теперь, что (3) есть решение системы (1). Так как (2) есть решение, то мы имеем тождества

Заменяя в этих тождества t через t + c, мы получаем:

Из этого в силу (4) и (3) вытекает

Перейдем теперь к кинематической интерпретации решений системы (1). Формально речь будет идти об интерпретации в n – мерном пространстве, но для наглядности разумно представлять себе случай плоскости (n = 2).

Б) Каждому решению

(5)

автономной системы (1) поставим в соответствие движение точки в n-мерном пространстве, задаваемое уравнениями (5), где

— координаты точки в пространстве, а t — время. В процессе своего движения точка описывает некоторую кривую — траекторию движения. Если сопоставить решению (5) не процесс движения, а траекторию движения точки, то мы получим менее полное представление о решении, поэтому желательно на траектории указать хотя бы направление движения. Оказывается, что если наряду с решением (5) имеется другое решение

(6)

то траектории, соответствующие этим решениям, либо не пересекаются в пространстве, либо совпадают. Именно, если траектории имеют хотя бы одну общую точку, т. е.

(7)

то

где (8)

Последние равенства показывают, что траектории, описываемые первым и вторым решениями, совпадают между собой, но первое решение описывает ту же самую траекторию, что и второе, с «запозданием» на время с. Если точка, соответствующая первому решению, достигла некоторого положения на траектории в момент времени t + c, то точка, соответствующая второму решению, уже побывала в том положении в момент времени t.

Для того чтобы вывести из равенства (7) тождество (8), рассмотрим наряду с решением (5) решение

(9)

(см. А)). Из равенства (7) при

следует равенство

Таким образом, решения (6) и (9) системы (1) имеют общие начальные условия (а именно, значения в момент времени

) и потому в силу теоремы единственности совпадают, так что мы имеем:

Положения равновесия и замкнутые траектории

Поставим вопрос о том, может ли траектория, изображающая решение системы, пересекать себя.

В) Пусть

(10)

некоторое решение системы (1). Допустим, что имеет место равенство

(11)

где числа

и , конечно, принадлежат интервалу определения решения (10). Оказывается, что при этом условии решение (10) может быть продолжено на весь бесконечный интервал . Поэтому мы сразу будем считать, что само решение (10) определено на этом интервале . Оказывается далее, что возможны два следующих взаимно исключающих случая.

1) Для всех значений t имеет место равенство

где

есть точка множества , не зависящая от t. Таким образом, в этом случае точка в действительности не движется при изменении t, а стоит на месте. Само решение (10) и точка в этом случае называются положением равновесия системы (1).

2) Существует такое положительное число Т, что при произвольном t имеют место равенства

но при

хотя бы для одного имеет место неравенство

В этом случае решение (10) называется периодическим с периодом Т, а траектория, описываемая решением (10), называется замкнутой траекторией, или циклом.

Докажем предложение В). Как было отмечено в предложении Б) из равенств (11) следуют тождества

(12)