Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 10 из 26)

В этом параграфе мы не будем делать различия между матрицей А и соответствующим ей преобразованием А в пространстве векторов

, так как базис меняться не будет.

Случай простых корней характеристического уравнения

А) Система дифференциальных уравнений (1) в векторной форме переписывается в виде:

(2)

Здесь

, а вместо системы неизвестных функций введен неизвестный вектор

;

под производной

вектора х понимается вектор . Если h есть собственный вектор матрицы А с собственным значением т.е. если

то векторная функция х, определяемая соотношением

,

является решением уравнения (2).

Последнее утверждение проверяется путем подстановки

в соотношение (2).

Теорема 8. Пусть

(3)

- такая система дифференциальных уравнений (см. А.)), что собственные значения

матрицы А попарно различны, и пусть

- соответствующие собственные векторы этой матрицы. Положим:

(4)

Тогда векторная функция

(5)

где

– константы, является решением уравнения (3), и всякое решение уравнения (3) задается этой формулой.

Доказательство. В силу предложения А) каждая функция

представляет собой решение уравнения (3), и потому в силу предложения А) §4 формула (5) всегда дает решение уравнения (3). Докажем теперь, что всякое решение уравнения (3) может быть записано в виде (5). Пусть - произвольное решение уравнения (3). В силу теоремы 3 решение можно считать заданным на всей бесконечной прямой . Таким образом, решение это определено и при t = 0. Положим . Пусть

- разложение вектора

по векторам базиса . Тогда решение х, определяемое формулой (5), очевидно, удовлетворяет начальным условиям

Тем же начальным условиям

удовлетворяет и решение ; таким образом, в силу теоремы единственности (см. теорему 2), .

Итак, теорема 8 доказана.

В случае, если матрица

, задающая уравнение (3), действительна, перед нами встает задача выделения из всех решений (5) действительных решений.

Б) Будем считать, что матрица

, задающая уравнение (3), действительна, и выберем векторы таким образом, чтобы действительным собственным значениям соответствовали действительные векторы, а комплексно сопряженным – комплексно сопряженные. Тогда в системе решений (4) каждому действительному собственному значению будет соответствовать действительное решение, а каждым двум комплексно сопряженным собственным значениям будут соответствовать комплексно сопряженные решения. Оказывается, что решение (5) тогда и только тогда действительно, когда константы, стоящие при действительных решениях, действительны, а константы, стоящие при комплексно сопряженных решениях, сопряжены.

Общий случай

Перейдем теперь к решению системы (1) в общем случае (матрица

может иметь кратные собственные значения). Разбор этого случая опирается на весьма нетривиальную и сложно доказуемую алгебраическую теорему о приведении матрицы к жордановой форме.

В) Запишем систему (1) в векторной форме

(6)

и пусть

- некоторая серия с собственным значением

относительно матрицы А, так что выполнены соотношения

Введем последовательность векторных функций, положив:

(7)

Оказывается тогда, что векторные функции

(8)

являются решениями уравнения (6), причем

(9)

Таким образом, каждой серии из k векторов соответствует система из k решений.

Для доказательства того, что векторные функции (8) являются решениями уравнения (6), укажем два тождества относительно векторных функций (7). Тождества эти следующие:

В этих соотношениях принято

. Оба они проверяются непосредственно путем проведения элементарных вычислений. При помощи этих тождеств непосредственно проверяется, что функции (8) являются решениями уравнения (6). Действительно, мы имеем:

Перейдем теперь к формулировке и доказательству теоремы, дающей решение системы (1) в общем случае.

Теорема 9. Пусть

(10)

- векторная запись системы (1). Существует базис

, состоящий из серий относительно матрицы А. Для определенности будем считать, что есть серия с собственным значением ; есть серия с собственным значением ; и т.д. В силу предложения В) каждой из серий соответствует система решений, так что мы можем выписать следующие решения уравнения (10):

(11)

Оказывается, что формула

(12)

где

– константы, всегда дает решение уравнения (10) и что каждое решение уравнения (10) описывается формулой (12).

Доказательство. Так как функции

являются решениями уравнения (10) (см. В)), то в силу предложения А) §4 формула (12) всегда дает решение уравнения (10). Покажем, что всякое решение уравнения (10) при надлежащем подборе констант записывается в виде (12). Пусть - произвольное решение уравнения (10). В силу теоремы 3 решение можно считать заданным на всей прямой , и потому вектор определен. Разложим этот вектор по базису :