Линейные и квадратичные зависимости функция х и связанные с ними уравнения и неравенства (стр. 9 из 11)

Hb

Рис. 1.

2) Определяем знаки выражений, стоящих под модулями, на каждом таком промежутке. Пусть это будет как на рис. 1. Тогда первоначальное неравенство (или уравнение) станет равносильным совокупности следующих (k + 1) систем:

Ответ:

Под обозначением

понимается множество решений системы с номером i.

Итак, сформулируем теперь в виде краткого алгоритма общую схему решения уравнений и неравенств со знаком модуля, которая была проиллюстрирована выше.

Чтобы решить уравнение или неравенство, содержащее знаки модуля, достаточно:

1) разбить всю область определения уравнения или неравенства на участки, на каждом из которых все выражения, которые стоят под модулем, сохраняют знаки.

2) пользуясь определением функции у =

, раскрыть на каждом из таких участков все знаки модулей.

3) решить получившиеся уравнения или неравенства.

4) отобрать из полученных решений все те решения, которые входят в рассматриваемый участок.

5) в ответе указать объединение всех решений, полученных на каждом из участков.

В некоторых задачах под знаком модуля могут находиться выражения, содержащие в свою очередь знаки модулей. В этом случае раскрытие модулей удобно производить последовательно, начиная с самого «внутреннего» знака модуля.

Пример 1. Пусть требуется решить уравнение

Применим предложенный алгоритм.

Рис. 2.

Приведем, сначала, подобную схему решения.

Согласно рис. 2, первоначальное уравнение равносильно совокупности следующих пяти систем:

Ответ:

Замечание: Заметим, что данное решение можно было записать короче, объединив рассмотрение случаев 1) и 5) в одну систему, а случаев 2) и 4) в другую систему.

Ответ:

.

Такое сокращение рассуждений, во избежание возможных ошибок, мы рекомендуем делать только после приобретения некоторого опыта в решении задач с модулями.

Наиболее полную и наглядную картину дает графическое исследование данного уравнения.

1) Построим график функции

Для построения будем использовать схему знаков, изображенных на рис. 2. Тогда

Соответствующий график выглядит так:

Рис. 3.

Построив график правой части уравнения у = 3, убеждаемся, что графики левой и правой части (

и у = 3) пересекаются, а (фактически – совпадают) на множестве и .

Более того, графический подход позволяет сразу же решить обобщенную задачу:

При каждом значении параметра а решить уравнение:

.

Для решения задачи повторим график из рис. 3 и изобразим на том чертеже различные возможные положения прямой у = а.

Рис. 4.

Выпишем ответ задачи (он непосредственно следует из рис. 4)

Ответ. 1) а < 3 – решений нет;

2) а = 3 – бесконечное множество решений

и .

3) 3 < a < 5 – четыре решения:

4) a = 5 – три решения:

5) a > 5 – два решения:

Приведенная форма решений позволяет сразу же дать ответ для иных возможных постановок задачи.

1) При каких а уравнение

(1)

не имеет решений?

Ответ: а < 3.

2) При каких а уравнение (1) имеет бесконечно много решений?

Ответ: а = 3.

3) При каких а уравнение (1) имеет не менее трех решений?

Ответ: 3

а 5.

Пример 2. Определить, при каких значениях а уравнение

имеет ровно три корня. Найти эти корни.

Сначала решим данное уравнение, последовательно раскрывая модули в его правой части. Как было указано выше, начнем раскрытие с внутреннего модуля. Для него возможны следующие два случая:

Получаем совокупность двух систем:

Решим отдельно систему (1) и систему (2).

Диаграмма знаков для системы (1):