Рис. 5.
В случае рис. 3 выполняется система неравенств:
В случае рис. 4 выполняется система неравенств:
В случае рис. 5 выполняется условие D < 0 (8). Из пунктов I, II теоремы 7 следует, что условия (6), (7), (8) равносильны совокупности следующих систем:
Ответ.
.IV. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
=0имеет по крайней мере два корня, один из которых неотрицателен, а другой не превосходит -1.
Решение.
Найдем область возможных значений параметра, при которых имеет смысл левая часть уравнения.
Рассмотрим следующие два случая:
1)
В этом случае любое число
является решением уравнения, значит условие задачи выполнено.Ответ 1)
2) Рассмотрим случай
.В этом случае
, и на этот множитель можно сократить, не теряя корней. Итак, при 
, наше уравнение равносильно следующей системе: 
Заметим, что для
lga > lg 1 = 0.Необходимо выяснить, при каких а из Е справедливы неравенства:
, где 
- вещественные корни квадратного трехчлена (*).Иначе говоря, числа -1 и 0 должны находиться между корнями этого квадратного трехчлена.
Согласно пункту III теоремы 7, должна быть справедлива система:
Ответ 2).
.Ответ.
.
1.12 Уравнения и неравенства, содержащие модули
I. Определение и свойства функции |х|.
Определение.
Пример. |1,5| = 1,5; |-5| = -(-5) = 5.
Из определения модуля следует, что
при любых х.Свойства модуля: для любых вещественных х и у справедливы следующие свойства:
1.
|x| 
2.
3. |-x|=|x|
4. |x+y|
5. ||x|-|y||
из 1 следует, что
Геометрически величина
задает расстояние между точками х и у на вещественной оси.График функции у =
Пусть имеется произвольная функция у = f(x), из определения модуля следует, что:
Отметим правило построения графика функции у =
.1) Сначала строим график функции у = f(x).
2) Там, где график функции у = f(x) лежит выше оси ОХ или на ней, оставляем без изменения; точки графика, которые лежат ниже оси ОХ, заменяем симметричными им относительно оси ОХ точками.
Отметим, что в силу четности функции
всякая функция f( 
также будет четной. 
Пример.
1. Строим
. 
2. Строим
по указанному правилу. 
II. Схема решений уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей
Например, пусть требуется решить неравенство:
1) Находим вещественные корни выражений, стоящих под модулем, то есть решаем уравнения
Пусть
все вещественные корни этих уравнений. Нанесем эти корни на числовую ось. Они разобьют ось на (k + 1) промежутков.Будем предполагать, что функции
и 
непрерывны на всей числовой оси, тогда значения этих функций будут сохранять свои знаки на каждом из указанных промежутков.Чтобы определить знак значений
и на каком-либо промежутке 
, достаточно вычислить и в любой точке 
; знаки этих чисел совпадают со знаками значений функций и соответственно на всем промежутке (так же можно поступить и на лучах 
. В случае рис. 2 множество А = 
.
возможно, только если числа 2 и 4 лежат между корнями 
квадратного трехчлена.
, тогда неравенство (2) равносильно 
неверно.
, тогда неравенство (2) равносильно 
